Aloha Anna ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Mir ist nicht ganz klar, wie der Term genau lautet. Gemäß deiner Klammerung wäre er$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2}n\right)^{3n}$$Da dieser nicht konvergiert, vermute ich, dass du den folgenden Term gemeint hast:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{3n}$$Den kannst du wie folgt analysieren:
$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{3n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{2n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{n}$$$$\qquad=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{2n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac{1}{2}}{n}\right)^{n}=e^{-1}\cdot e^{-\frac{1}{2}}=e^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{e\sqrt e}$$
Dabei haben wir verwendet dass \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x\) gilt. Da die Grenzwerte der beiden Faktoren existieren, existiert auch der Grenzwert des Produktes, daher ist die Existenz des Grenzwertes auch gesichert.
