Potenzreihen auf Konvergenz untersuchen

Question

ich muss als Übung den Konvergenzradius von Potenzreihen bestimmen.

Meine Frage: gilt das notw. Kriterium für Konvergenz von Reihen auch im Falle der Potenzreihe? Also kann ich unmittelbar auf Divergenz schließen wenn meine Folge keine Nullfolge ist?

Als Beispiel: Σ n *tⁿ divergiert?

Vielen Dank im Voraus!

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Die Konvergenz hängt auch von \(t\) ab. D. h., dass die Reihe ggf. nur für spezielle \(t\) konvergiert.

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jo, dachte ich mir schon. Danke.

Answer 1

Σ n *tⁿ divergiert für t≥1

Σ n *tⁿ konvergiert für 0<t<1.

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Alles klar, danke.

Answer 2

Meine Frage: gilt das notw. Kriterium für Konvergenz von Reihen auch im Falle der Potenzreihe? Also kann ich unmittelbar auf Divergenz schließen wenn meine Folge keine Nullfolge ist?

Zum "also" ein klares Ja.

Das Nullfolgenkriterium ist notwendig, doch nicht hinreichend.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Nullfolgenkriterium#:~:text=Das%20Nullfolgenkriterium%20lautet%3A,Nullfolge%2C%20dann%20divergiert%20die%20Reihe.&text=Im%20Gegensatz%20zu%20anderen%20Konvergenzkriterien,entschieden%20werden%2C%20ob%20sie%20konvergiert.