Matrizen: AX+BX=C nach X

Question

Aufgabe:

Finden Sie jene Matrix X, für die gilt:

AX + BX = C

wobei

A=(2, 1; 0, 2) B=(-1, 2; 2, 0) C=(1, 2; -3, 0)

Problem/Ansatz:

Ginge das mit folgenden Umformungen:

(A+B)·X=C

(A+B)^-1·((A+B)·X)=(A+B)^-1·C

((A+B)^-1·(A+B))·X=(A+B)^-1·C

X=(A+B)^-1·C

Könnte das jemand vielleicht ausrechnen, damit ich es dann mit meiner Lösung vergleichen kann - sollte die Umformung überhaupt sinnvoll sein :)

LG

Answer 1

Aloha ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Deine Umformungsschritte sind alle korrekt. Jetzt musst du nur noch die Werte einsetzen:

$$X=\left(\begin{pmatrix}2 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 2\\2 & 0\end{pmatrix}\right)^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\-3 & 0\end{pmatrix}$$$$X=\begin{pmatrix}1 & 3\\2 & 2\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\-3 & 0\end{pmatrix}$$$$X=-\frac{1}{4}\begin{pmatrix}2 & -3\\-2 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\-3 & 0\end{pmatrix}$$$$X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & \frac{3}{4}\\[0.5ex]\frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & 2\\-3 & 0\end{pmatrix}$$$$X=\begin{pmatrix}-\frac{11}{4} & -1\\[0.5ex]\frac{5}{4} & 1\end{pmatrix}$$

Weil die die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix oft vorkommt, habe ich dafür eine Formel im Kopf. Die Elemente auf der Hauptdiagonalen werden vertauscht. Die Elemente auf der Nebendiagonalen ändern ihr Vorzeichen. Die Matrix wird durch ihre Determinante dividiert. Also in Formeln:$$\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$$

Comments

Wow! Danke für die Formel :) Die notiere ich mir gleich mal für die Prüfung ^^