Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass |tan(x)+tan(y)| ≥ |x+y| für alle x,y ]-pi/2,pi/2[ gilt.

Question

Aufgabe:

Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass |tan(x)+tan(y)| ≥ |x+y| für alle x,y ∈ ]-π/2,π/2[ gilt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe absolut nicht wie ich hier den MWS anwenden soll.

Ich habe irgendwie versucht daraus einen Bruch für die Steigung rauszubekommen, bin dann über \( \frac{|tan(x)+tan(y)|}{|x+y|} \) ≥ 1 auf \( \frac{|tan(x)-tan(-y)|}{|x-(-y)|} \) ≥ 1 gekommen (keine Ahnung ob das Zielführend oder überhaupt erlaubt ist), und das hieße ja dann, dass auf dem Tangens die Steigung der Sekanten durch die Punkte x und -y größer-gleich 1 ist.

Ich weiß auch, dass tan'(ξ) = 1/cos²(ξ) ≥ 1 ist.

Und das ist der Punkt wo ich hänge.

Mir ist durchaus bewusst, dass die Ungleichung stimmt, weil |tan(x)|≥|x| ist und somit ja auch die Ungleichung stimmen muss, aber der MWS bringt mich da aus der Bahn...

Answer 1

Hallo,

Duj hast eigentlich alles richtig gemacht. Der MWS besagt doch in der Tat

$$f(x)-f(-y)=f'(\xi)(x-(-y)) \text{  mit einem } \xi \text{ zwischen }x,(-y)$$

Also konkret für \(f(x)=\tan(x)\):

$$\tan(x)-\tan(-y)=\frac{1}{\cos(\xi)^2}(x-(-y)) \quad \Rightarrow$$

$$|\tan(x)+\tan(y)|=\frac{1}{\cos(\xi)^2} |x+y| \geq |x+y|$$

Gruß

Comments

Wow,
da stand ich mächtig auf dem Schlauch...

Wenn du der MathePeter von Youtube bist, dann darf ich dir sogar für Vielerlei danken, wenn nicht dann trotzdem vielen Dank zumindest hierfür :)