Aloha ;)
Wir bestimmen zuerst die Eigenwerte:
$$\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\-1 & -\lambda & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1-\lambda & 1-\lambda\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(2)}=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$=(1-\lambda)\left[(3-\lambda)(-\lambda-1)+(2+1)\right]=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=(1-\lambda)\lambda(\lambda-2)$$Die Nullstellen sind die Eigenwerte:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$[Zur Berechnung: In (1) habe ich die dritte Zeile zu der zweiten Zeile addiert. In (2) habe ich den Faktor \((1-\lambda)\) aus der zweiten Zeile vor die Determinante gezogen. Anschließend habe ich die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt.]
Um nun die Eigenvektoren zu bestimmen, müssen wir die Eigenwerte der Reihe nach in die Matrix, die wir in der Determinate stehen haben, einsetzen und deren Kern bestimmen.
1) Eigenvektor zu \(\lambda_1=0\)
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 3 & 2 & -1 & -3\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & 0 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 0\\\hline0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=-x_2\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=-x_2\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$
2) Eigenvektor zu \(\lambda_2=1\)
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 2 & 2 & -1 & -2\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & -1 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -1\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & 0 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=0\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\implies\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$
3) Eigenvektor zu \(\lambda_3=2\)
$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 1 & 2 & -1 & -\text{Zeile 3}\\ -1 & -2 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -2\\\hline0 & 1 & 1 & \\0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\1 & 1 & -2 & -\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 0 & -3 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1-3x_3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=-x_3\quad;\quad x_1=3x_3$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$$
