Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von A

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von A

Problem/Ansatz:

A= 3    2   -1

   -1   0    1

    1   1    0

Ich habe bereits die "Lamda Matrix" abgezogen und vereinfacht. Daraus erhielt ich: (x ist in dem Fall Lamda)

-x³+3x²-2x

Dannach habe ich mit ausprobieren eine Nullstelle bei 1 heraus gefunden

Nun habe ich von dem Therm 1-x abgezogen und erhielt:

(×-1)*(-x²+2x-1)

Damit also mit der hinteren Klammer habe ich die Mitternachtsformel angewendet um x2 und x3 zu bekommen

X2 und x3 waren ebenfalls 1

Nun habe ich die Matrix - die lamda Matrix 1 mal einen vektor gerechnet

Also:

3-1    2    -1        v1

-1     -1     1   *   v2   =0

 1      1     -1        v3

Mein Problem ist jetzt das dort kein Ergebnis rauskommt und ich auch nicht weiß ob überhaupt alles richtig ist. Also ob meine Rechnungen davor vielleicht schon falsch waren.

Answer 1

Aloha ;)

Wir bestimmen zuerst die Eigenwerte:

$$\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\-1 & -\lambda & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1-\lambda & 1-\lambda\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|\stackrel{(2)}=(1-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}3-\lambda & 2 & -1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$=(1-\lambda)\left[(3-\lambda)(-\lambda-1)+(2+1)\right]=(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda)=(1-\lambda)\lambda(\lambda-2)$$Die Nullstellen sind die Eigenwerte:$$\lambda_1=0\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$[Zur Berechnung: In (1) habe ich die dritte Zeile zu der zweiten Zeile addiert. In (2) habe ich den Faktor $(1-\lambda)$ aus der zweiten Zeile vor die Determinante gezogen. Anschließend habe ich die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt.]

Um nun die Eigenvektoren zu bestimmen, müssen wir die Eigenwerte der Reihe nach in die Matrix, die wir in der Determinate stehen haben, einsetzen und deren Kern bestimmen.

1) Eigenvektor zu $\lambda_1=0$

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 3 & 2 & -1 & -3\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & 0 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & 0\\\hline0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 2}\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 &\\0 & 1 & 1 & \\1 & 1 & 0\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=-x_2\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\-x_2\end{pmatrix}=-x_2\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$$

2) Eigenvektor zu $\lambda_2=1$

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 2 & 2 & -1 & -2\cdot\text{Zeile 3}\\ -1 & -1 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -1\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\\hline0 & 0 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 1 & 0 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_3=0\quad;\quad x_1+x_2=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_3=0\quad;\quad x_1=-x_2$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\implies\vec v_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$$

3) Eigenvektor zu $\lambda_3=2$

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & x_3 & \text{Aktion}\\\hline 1 & 2 & -1 & -\text{Zeile 3}\\ -1 & -2 & 1 & +\text{Zeile 3}\\1 & 1 & -2\\\hline0 & 1 & 1 & \\0 & -1 & -1 & +\text{Zeile 1}\\1 & 1 & -2 & -\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & 1 &\\0 & 0 & 0 & \\1 & 0 & -3 &\\\hline\hline\end{array}$$Wir erhalten also zwei Gleichungen:$$x_2+x_3=0\quad;\quad x_1-3x_3=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_2=-x_3\quad;\quad x_1=3x_3$$Die Eigenvektoren sind daher:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x_3\\-x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}\implies\vec v_3=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$$

Comments

Schau mal bitte, ich habe die Rechnung für die beiden anderen Eigenvektoren noch ergänzt. Ich denke, wenn man sich das selbst beibringen muss, hilft eine vorgegebene Lösung beim Verstehen.

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Wäre nett ,wenn das einmal für die anderen beiden machen würdest

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Schon passiert... ;)

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Ja hab ich gesehen :)) Dankeschön <3

Answer 2

Nun habe ich von dem Therm 1-x abgezogen und erhielt:

(×-1)*(-x2+2x-1)

Du musst doch dividieren (hast du wohl auch) aber

das gibt

(x-1)*(-x² + 2x )

Also alle Eigenwerte 0 , 1   und 2.

Comments

Wie bist du auf die restlichen Eigenwerte gekommen?

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(x-1)*(-x2 + 2x ) = 0

<=> (x-1)*x*(-x + 2 ) = 0

<=>  x-1=0   oder x = 0    oder  -x+2 = 0

Answer 3

Ungeschickte Verfahrensweise.

Erzeuge Digonalmatrix: E(z,s,a) = Zeile z = z+a Zeile s

E(1,2,1) E(2,3,1) E(1,3,(l-3)) (A - l E)

$\small \left(\begin{array}{rrr}0&0&-\ell^{2} + 2 \; \ell\\0&-\ell + 1&-\ell + 1\\1&1&-\ell\\\end{array}\right)$

|A - l E|=Produkt der Diagonalen

===> l=1, l=0, l=2