Beweise das Additionstheorem für den Kosinus: cos(x+y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)
Ich hab bis jetzt die rechte Seite ein wenig umgeformt [Bei der Aufgabe sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) hatte das prima funktioniert und ich hatte am Ende \( 2·\sin(x+y)·i / {2i} \), was man auflösen konnte. Aber bei Kosinus klappt es nicht. Bisher habe ich das hier:
\( =\cos (x) · \cos (y)-\sin (x) · \sin (y) \)
\( =\dfrac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{ix}}\right)\left(\mathrm{e}^{\mathrm{iy}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i} y}\right)}{4} - \dfrac{\left.\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{x}}\right.\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} \mathrm{y}}-\mathrm{e}^{-\mathrm{iy}}\right)}{4 \mathrm{i}} \)
Linker Bruch erweitert mit \( i^2 \) bis zu:
\( =\dfrac{\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}+e^{-i y·}\right)^{·i^2}\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)·\left(e^{i y}-e^{-i y}\right)}{4 i^{2}} \)
Ist auch so weit alles richtig, zusammengefasst ergibt es noch immer cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y). Aber egal wie ich jetzt weiter zusammenfassen will (zum Beispiel i² wegkürzen, wird aus dem - ein +. ich möchte aber nicht cos(x-y) beweisen sondern cos(x+y), daher weiß ich nicht, wie ich es zu dieser Formel weiter zusammenfassen soll. Hat jemand Rat?
