welche beiden reellen Zahlen mit der Differenz d haben das kleinste Podukt?

Question

Aufgabe:

… welche beiden reellen Zahlen mit der Differenz d haben das kleinste Podukt?

Answer 1

Die Antwort lautet

-d/2 * d/2

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Weil nämlich:

- Das "kleinste Produkt" im Idealfall negativ ist um möglichst klein zu sein,

- ein Produkt zweier Faktoren genau dann negativ ist, wenn ein Faktor negativ ist und der andere positiv,

- man die Zahl d (positiver Faktor minus negativer Faktor) also so auf zwei Summanden aufteilen muss, dass deren Produkt maximal wird

- analog zur Aufgabe, ein Rechteck mit gegebenem Umfang (und somit gegebener Summe Länge+Breite, da sich diese vom Umfang nur durch den konstanten Faktor 2 unterscheidet) so darzustellen, dass seine Fläche maximal wird, was als Lösung ein Quadrat ergibt, hier das maximale Produkt ebenfalls erreicht wird, wenn die beiden Summanden von d gleich sind,

- der negative erste Faktor also bis auf das Vorzeichen gleich groß wie der zweite postive Faktor ist.

Answer 2

\(y-x = d \implies y = x+d\)

\(p(x) = x\cdot y = x\cdot(x+d)\)

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welche reellen zahlen?

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Bestimme den Tiefpunkt von \(p\).

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extremwerte über die erste Ableitung berechnen.

kann ich für p auch f(x) schreiben?

Answer 3

Beschreiben wir die eine Zahl durch den Term \(\left(x-\dfrac{d}{2}\right)\), dann besitzt die andere Zahl offenbar die Darstellung \(\left(x+\dfrac{d}{2}\right)\). Für festes \(d\) gilt dann für das Produkt \(p(x)\)

$$ p(x) = \left(x-\dfrac{d}{2}\right) \cdot \left(x+\dfrac{d}{2}\right) = x^2- \left(\dfrac{d}{2}\right)^2. $$ Für welches \(x\) ist es am kleinsten?

Comments

hierbei müsste, soweit ich mich nicht irre, die extremstellen und vor allem der Tiefpunkt relevant sein.

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Ja, und diese Feststellung ist ebenso richtig wie überflüssig.

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weshalb? hier wird doch den kleinsten Wert. Tut mir leid, falls ich mich irgendwie dumm anstellen mag.

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Für welches \(x\) das Produkt am kleinsten ist, darf man hier ablesen, schließlich ist \(p(x)\) eine nach oben offene quadratische Funktion in Scheitelform.

Answer 4

welche beiden reellen Zahlen mit der Differenz d haben das kleinste Podukt?

Nehmen wir also an du hast die Zahlen x und x + d

Ist es klar warum du das Annehmen kannst? Wir bilden also das Produkt

P = x * (x + d)

Nun ist das eine Quadratische Funktion mit den Nullstellen bei 0 und -d. Zwischen den Beiden Nullstellen befindet sich also das Minimum bei x = -d/2

Das kleinste Produkt ist dann

P = (-d/2) * (-d/2 + d) = -d^2/4