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Ich sitze schon seit stunden verzweifelt an einer Aufgabe und finde keinen Ansatz zu dieser.
Ich habe eine Abbildung im f:R2->R2 bezüglich der einheitsvektoren e1=(0,1) und e2=(1,0) und wird durch die folgende Matrix dargestellt:

\( R:=\left(\begin{array}{cc}\cos \beta & \sin \beta \\ \sin \beta & -\cos \beta\end{array}\right) \) mit \( \beta \) in \( R \)

Wie soll ich diese Abbildung interpretieren?

Darüber hinaus soll ich ein a1 rausfinden, für \( \beta \in R \backslash \pi Z \),sodass \( b 1:=\left(\begin{array}{l}1 \\ a 1\end{array}\right) \) durch \( f \) auch sich selbst abbildet, d.h. \( f(b 1)=b 1 \). Wie rechne bzw finde ich mein al?

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Der 2. Teil ist mE nicht lösbar. Da f eine Drehung um den Winkel Beta ist. Da kann es keinen Vektor ausser den 0-Vektor geben, der nach der Drehung noch die gleiche Richtung hat. Ausgenommen gerade die ausgeschlossenen Möglichkeiten Beta= 0,π,2π,....

In diesem Fall wären dann aber beliebige a1 erlaubt.

Stimmt nicht ganz: Vgl: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix. Hier wird ja der zweite Spaltenvektor noch umgedreht.

1 Antwort

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R ist eine Drehung um den Winkel beta (in der Ebene). b1 ist ein Eigenvektor von R zum Eigenvektor 1, d.h. R muss den Eigenwert 1 haben. Einen Eigenvektor bestimmen und geeignet skalieren liefert a1.
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Wiie bestimme ich einen Eigenvektor? Eigenvektor und Drehung höre ich jetzt zum ersten mal aber danke für die Hilfe :)
Es geht auch ohne Eigenvektor: b1 ist ein Vektor im Kern von R-E, den kann man mit Gauß bestimmen.

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