\( x^{3}+2+x \cdot \sqrt{\sin (x)-x^{2}+102} \leq M\left(x^{2}-\frac{x}{2}\right) \)
Da es nur um positive x-Werte geht, können wir durch x teilen und erhalten
\( x^{2}+\frac{2}{x}+ \sqrt{\sin (x)-x^{2}+102} \leq M\left(x-\frac{1}{2}\right) \)
Betrachte die linke Seite:
Für x ∈ (1 ; 9 ) gilt x^2 < 100 und 2/x < 2 und
in der Wurzel ist -1≤ sin(x) ≤1 und -100 ≤- x^2 < 0
==> -101 ≤ sin(x) - x^2 < 1
==> 1 ≤ sin(x) - x^2 + 102 < 103
also liegt die Wurzel sicherlich zwischen 1 und 11.
Zusammen mit x^2 < 100 und 2/x < 2 ist also die linke Seite der
Ungleichung sicherlich kleiner gleich 120.
Im Bereich x ∈ (1 ; 9 ) gilt für die rechte Seite ( ohne Faktor M )
1 < x < 9
==> 0,5 < x - 0,5 < 8,5 , also jedenfalls immer x -0,5 > 0,5
Mit dem Faktor M=240 wäre also die rechte Seite größer 120 und
man hätte man also die Bedingung
\( x^{2}+\frac{2}{x}+ \sqrt{\sin (x)-x^{2}+102} \leq M\left(x-\frac{1}{2}\right) \)
erfüllt.
