Zeigen Sie, dass auch {a1, a2, a3 − a1} eine Basis von V ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass auch {a1, a2, a3 − a1} eine Basis von V ist.

Problem/Ansatz:

Sei V ein (R)-Vektorraum mit einer Basis, die aus den paarweise verschiedenen Vektoren
b1, b2, b3 besteht.
Ich muss beweisen, dass auch {a1, a2, a3 − a1} eine Basis von unserem Vektorraum V ist.

Wie ich verstanden habe, muss ich zuerst zeigen, dass {a1, a2, a3 − a1} linear unabhängig ist, und dann dass es Erzeugendensystem ist.

Comments

\( (a_1, a_2, a_3) \) ist eine Basis, also hat der Vektorraum Dimension 3.

Da in \( (a_1, a_2, a_3 - a_3) \) auch \( 3 = \dim V \) Vektoren enthalten sind, reicht es z.B. nachzurechnen, dass diese linear unabhängig sind. Der Rest folgt dann aus Dimensionsgründen.

Seien \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in K \) mit

$$ \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 (a_3 - a_1) = 0 $$

dann ist auch

$$ (\lambda_1 - \lambda_3) a_1 + \lambda_2 a_2 + \lambda_3 a_3 = 0 $$

da \( (a_1, a_2, a_3) \) linear unabhängig ist, muss \( \lambda_1 - \lambda_3 = 0 \), \(\lambda_2 = 0 \) und \( \lambda_3 = 0 \) sein.

Also \( \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \). Mehr ist nicht zu tun.

Answer 1

Es ist schon sehr lange her, dass ich mich mit solchen Aufgaben beschäftigt habe. Doch ich kenne a1; a2 und a3 nicht . Da kein Bezug zu b1; b2 und b3 angegeben wurde, kann ich also nicht weiter helfen.

Wenn a1;a2und a3 linear unabhängig sind, dann kann ich a3 nicht als Linearkombination von a1 uns a2 darstellen. Das bedeutet aber, dass ich auch a3-a1 nicht als Linearkombination von a1uns a2 darstellen kann.

Andererseits kann ich jeden Vektor, den ich mit a1; a2und a3 darstellen kann auch mir a1;a2;a3-a1 darstellen und umgekehrt.

Sei

 $$v= t_1a_1 + t_2a_2+t_3a_3$$

So gilt auch

$$v=(t_1+t_3)a_1+t_2a_2+t_3(a_3-a_1)$$

Comments

Ach, Tippfehler! Es ist überall a1,a2,a3:)

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Antwort wurde ergänzt