Aloha :)
$$\text{i)}\quad a_k=5^k+2^{-k+1}$$$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{5^k+2^{-k+1}}{5^{k+1}+2^{-(k+1)+1}}=\frac{5^k+2^{-k+1}}{5^{k+1}+2^{-k}}=\frac{2^k(5^k+2^{-k+1})}{2^k(5^{k+1}+2^{-k})}=\frac{10^k+2}{5\cdot10^k+1}=\frac{1+\frac{2}{10^k}}{5+\frac{1}{10^k}}$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1+\frac{2}{10^k}}{5+\frac{1}{10^k}}=\frac{1}{5}$$Die Reihe konvergiert also für \(-\frac{1}{5}<x<\frac{1}{5}\).
Innerhalb dieses Konvergenzbereichs lautet die Funktion:
$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\,x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(5^k+2^{-k+1})x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty5^k\,x^k+\sum\limits_{k=0}^\infty2^{-k+1}x^k$$$$\phantom{f(x)}=\sum\limits_{k=0}^\infty5^k\,x^k+\sum\limits_{k=0}^\infty2^{-k+1}x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty5^k\,x^k+2\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(5x)^k+2\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^k$$Das sind 2 geometrische Reihen, deren Grenzwert innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<r\) existiert, sodass wir mit der Grenzwertformel weiterrechnen können:$$\phantom{f(x)}=\frac{1}{1-5x}+2\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{1-5x}+\frac{4}{2-x}=\frac{2-x+4-20x}{(1-5x)(2-x)}$$$$\phantom{f(x)}=\frac{6-21x}{(1-5x)(2-x)}$$Das kannst du eventuell noch weiter ausrechnen, ich würde das aber so stehen lassen.
$$\text{ii)}\quad a_k=\frac{(-1)^k}{4^k}$$$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{\frac{(-1)^k}{4^k}}{\frac{(-1)^{k+1}}{4^{k+1}}}=\frac{(-1)^k}{4^k}\cdot\frac{4^{k+1}}{(-1)^{k+1}}=\frac{(-1)^k}{(-1)^{k+1}}\cdot\frac{4^{k+1}}{4^k}=-4$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=4$$Die von \(x\) abhängige Potenz ist \(x^{2k}=(x^2)^k\). Der Konvergenzbereich der Reihe ist daher:$$|x^2|<r=4\implies -2<x<2$$Die Reihe konvergiert also für \(-2<x<2\).
$$\text{iii)}\quad a_k=\frac{1}{3\sqrt k}$$$$\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{\frac{1}{3\sqrt k}}{\frac{1}{3\sqrt {k+1}}}=\frac{1}{3\sqrt k}\cdot\frac{3\sqrt {k+1}}{1}=\sqrt{\frac{k+1}{k}}=\sqrt{1+\frac{1}{k}}$$$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt{1+\frac{1}{k}}=1$$Die von \(x\) abhängige Potenz ist \((x-4)^k\). Die Reihe konvergiert daher für$$|x-4|<1\quad\implies -1<x-4<1\implies 3<x<5$$
Wir sollen noch das Konvergenzverhalten an den Rändern untersuchen:
$$f(5)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{3\sqrt k}=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt k}>\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k}\to\infty$$Weil die harmonische Reihe divergiert, tut dies auch \(f(x=5)\).
$$f(3)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{3\sqrt k}=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$$Da \(\frac{1}{\sqrt k}\) eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium \(f(3)\).
Wir können also das Konvergenzintervall nach der Randuntersuchung erweitern auf: $$3\le x<5$$
