Differenzierbare Funktionen Beweis

Question

Aufgabe:

Sei ε > 0 und seien f, g : (−ε, ε) → R differenzierbare Funktionen mit f(x)g(x) = x für alle
x ∈ (−ε, ε). Sei zusätzlich f(0) = 0. Zeigen Sie, dass dann g(0) ungleich 0

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider echt nicht weiter...

Answer 1

Tipp: Leite \(f(x)g(x)=x\) auf beiden Seiten nach \(x\) ab. (Produktregel)

Was passiert, wenn \(x=0\)?

Comments

Dann bleibt nur der Term f`(0)*g(0)=1 über, wie kann ich aber jetzt damit die behauptung beweisen? Muss ich dann geteilt durch g(x) rechnen und dann argumentieren dass wegen 1/g(0) g(0) nie null werden darf?

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Per Widerspruch: Wenn \(g(0)=0\), dann wäre \(f'(0)\cdot 0=0\neq 1\). Daraus folgt, dass \(g(0)\neq 0\).

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wegen 1/g(0) g(0) nie null werden darf?

Ja, das ist auch einleuchtend. Allerdings verwendest du beim Teilen durch \(g(0)\) bereits, dass \(g(0)\neq 0\).