Differenzierbare Funktionen Beweis

Question

Aufgabe:

Sei ε > 0 und seien f, g : (−ε, ε) → R differenzierbare Funktionen mit f(x)g(x) = x für alle
x ∈ (−ε, ε). Sei zusätzlich f(0) = 0. Zeigen Sie, dass dann g(0) ungleich 0

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider echt nicht weiter...

Answer 1

Tipp: Leite $f(x)g(x)=x$ auf beiden Seiten nach $x$ ab. (Produktregel)

Was passiert, wenn $x=0$?

Comments

Dann bleibt nur der Term f`(0)*g(0)=1 über, wie kann ich aber jetzt damit die behauptung beweisen? Muss ich dann geteilt durch g(x) rechnen und dann argumentieren dass wegen 1/g(0) g(0) nie null werden darf?

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Per Widerspruch: Wenn $g(0)=0$, dann wäre $f'(0)\cdot 0=0\neq 1$. Daraus folgt, dass $g(0)\neq 0$.

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wegen 1/g(0) g(0) nie null werden darf?

Ja, das ist auch einleuchtend. Allerdings verwendest du beim Teilen durch $g(0)$ bereits, dass $g(0)\neq 0$.