Ableiten von Logarithmusfunktionen

Question

Aufgabe:

Bilde die 1., 2. und 3. Ableitung der Logarithmusfunktion f:x → x²(2-ln(x))

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ganz genau wie ich die Funktion ableiten soll.

Ich habe jetzt so angefangen für die 1. Ableitung:

u(x)= x² ; u'(x) = 2x

v(x)= 2-ln(x) ; v'(x) = -\( \frac{1}{x} \)

Aber wie mache ich weiter?

Mit freundlichem Gruß

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x^2(\,2-\ln x\,)=2x^2-x^2\ln x$$$$f'(x)=\left(2x^2-x^2\ln x\right)'=(2x^2)'-(\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v})'=4x-(\,\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'}\,)$$$$\phantom{f'(x)}=4x-2x\ln x-x=3x-2x\ln x$$$$f''(x)=(\,3x-2x\ln x\,)'=(\,3x\,)'-(\,\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}\,)'=3-(\,\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln x}_{=v}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}}_{=v'}\,)$$$$\phantom{f''(x)}=3-2\ln x-2=1-2\ln x$$$$f'''(x)=(\,1-2\ln x\,)'=-\frac{2}{x}$$

Answer 2

Einsetzen in u(x)*v'(x) + u'(x)*v(x) gibt dann

f ' (x) = x^2 * (-1/x ) + 2x*(2-ln(x))