Seien \( V, W \) und \( U \) Vektorräume über einem Körper \( K \) und seien \( t: V \rightarrow W \) und \( s: W \rightarrow U \) lineare Abbildungen. Zeigen Sie:
(i) Das Bild \( \operatorname{im}(t) \) ist ein Untervektorraum von \( W \).
(ii) Die Komposition \( s \circ t: V \rightarrow U \) ist linear.
(iii) Die Abbildung \( \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow \operatorname{Hom}(V, U), f \mapsto s \circ f \) ist linear.
(iv) Die Abbildung \( \operatorname{Hom}(W, U) \rightarrow \operatorname{Hom}(V, U), g \mapsto g \circ t \) ist linear.
(v) Für jeden Vektor \( v \in V \) ist die Abbildung \( \operatorname{Hom}(V, W) \rightarrow W, f \mapsto f(v) \) linear.
