Zeigen Sie, dass die Matrix

Question

Wir betrachten die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)
Zeigen Sie, dass die Matrix \( A \) vollen Rang hat (also \( \operatorname{rk}(A)=3 \) gilt) und bestimmen Sie anschließend die zu \( A \) inverse Matrix \( A^{-1} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \).

Answer 1

Aloha :)

Die quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre 3 Spaltenvektoren linear unabhängig sind bzw. wenn die Determinante der Matrix \(\ne0\) ist.

$$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2\\0 & 1 & -1\\-2 & 1 & -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & 2\\0 & 1 & -1\\0 & 0 & 1\end{array}\right|=2\ne0\quad\checkmark$$

Damit ist sicher, dass die inverse Matrix existiert. Diese bestimmen wir nun:

$$\begin{array}{|rrr|rrr|l}\hline2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 & \\0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & \\-2 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & +\text{Zeile 1}\\\hline2 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3} \\0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 &+\text{Zeile 3} \\0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 &\\\hline2 & -1 & 0 & -1 & 0 & -2 &+\text{Zeile 2} \\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \\0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\\hline2 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 &:\,2\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \\0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} &\\0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & \\0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 &\\\hline\hline \end{array}$$Die inverse Matrix ist also:$$\left(\begin{array}{rrr}0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\1 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{array}\right)$$