Differentialgleichung zweiter Ordnung mit y'^2 lösen

Question

Aufgabe:  a) Finden Sie alle (nichttrivialen) Lösungen der Differentialgleichung
y''-(y')^2+y=0
von der Form y(x) = Ax2 + Bx + C, indem Sie die passenden Koeffizienten A, B und C
durch Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung bestimmen.
b) Lösen Sie die Differentialgleichung:  y''/y'^2 +y' e^y =0

mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) = 1, indem Sie y''/y'^2 +y' e^y =0 als Ableitung
einer geeigneten Funktion F(y', y) schreiben.

Problem/Ansatz: ich bin mir bei der aufgabe nicht sicher wie ich vorgehen soll mit dem y'^2, Ich weiß das man bei so einer diferentialgleichung e^lamdax einsetzen soll komme da aber nicht auf ein gescheites ergebnis

Answer 1

Hallo,

a) Lautet die Aufgabe :

y'− y''^(2) + y = 0 oder

y'− y'^(2) + y = 0 ?

Ansatz:

y=Ax^2 + Bx + C

y'= 2Ax +B

y'' =2A

in die DGL einsetzen , dann Koeffizientenvergleich

b) Lösen Sie die Differentialgleichung: y''/(y')^2 +y' e^y =0

Substituiere:

z= y'

z'=y''

-->

z'/(z)^2 +z e^y =0 ->Lösung via Trennung der Variablen

Comments

ich mich da tatsächlich vertippt die aufgabe lautet

y''-y'^2+y=0

---

Setze y, y' und y'' in die DGL ein , führe einen Koeffizientenvergleich durch,

ich habe erhalten:

x^2: -4A^2 +A=0

x^1: -4AB +B =0

x^0: 2A +B^2 +C=0

Löse dieses System

Answer 2

y = Ax² + Bx + C

y' = 2Ax + B

y'' = 2A

y''2 = 4A²

y'− y''2 + y = (2Ax + B) - (4A² + Ax²) + (Bx + C)

Also muss

      (2Ax + B) - (4A² + Ax²) + (Bx + C) = 0

für alle x sein.