Bestimme den Körpergrad und den Separabilitätsgrad der Körpererweiterung.

Question

Aufgabe:

Sei $L := \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{5})$.

(a) Bestimme den Körpergrad $[L:\mathbb{Q}]$ und den Separabilitätsgrad $[L:\mathbb{Q}]_s$.

(b) Geben Sie alle $\mathbb{Q}$- Homomorphismen $σ:L \rightarrow \overline{\mathbb{Q}}$ an, wobei $\overline{\mathbb{Q}} \subseteq \mathbb{C}$ der Algebraische Abschluss von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{C}$ ist.

Problem/Ansatz:

Zu (a):

$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}] = 2$, da das Minimalpolynom von $\sqrt{2}$ den Grad 2 hat. Wie kann ich nun zeigen, dass $X^3 -5$ in $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ immer noch das Minimalpolynom von $\sqrt[3]{5}$ ist?

Wenn das gezeigt wurde gilt $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}] = 2 \cdot 3 = 6$. Für die Separabilitätsgrade gilt dann ebenfalls $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}) : \mathbb{Q}]_s = 2$ und $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}) : \mathbb{Q}(\sqrt{2})]_s = 3$, da für einfache Körpererweiterungen der Separabilitätsgrad der Anzahl der Nullstellen des Minimalpolynoms entspricht.

Zu (b) habe ich bisher noch keinen Ansatz.

Answer 1

a) sieht gut aus für mich. Habe ich zumindest ähnlich gemacht (heißt also nichts :D).

b) fand ich auch schwierig.

Habe da ne lange Zeit rumgedoktort dran und irgendwann einfach das primitive Element bestimmt, um dann Lemma 4.2.9 (a) benutzen zu können (dieses gilt nämlich nur für einfache Erweiterungen).
Dadurch konnte ich zwar nicht wirklich explizit etwas angeben, aber das war das beste, was mir eingefallen ist. Auch der Beweis zum primitven Element ist sehr aufschlussreich.
Ist zwar nicht viel, was ich dir dazu sagen kann, aber vll fällt dir ja noch was ein dazu. :P

Comments

So habe ich (b) jetzt auch versucht, besonders viel gebracht hat mir das aber nicht, ich wüsste auch gar nicht so genau wie ich die explizit angeben soll