Aloha :)
Wir schreiben die Gleichung der Hyperbel etwas um:$$b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-1$$und stellen fest, dass \(\frac{y^2}{b^2}\ge0\) ist, sodass auch die rechte Seite \(\ge0\) sein muss:$$\frac{x^2}{a^2}-1\ge0\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}\ge1\quad\Longleftrightarrow\quad x^2\ge a^2\quad\Longleftrightarrow\quad x\le-a\;\lor\;x\ge a$$Weiter stellen wir fest, dass die Gleichung der Hyperbel sowohl bezüglich der \(y\)-Achse als auch bezüglich der \(x\)-Achse symmetrisch ist:$$\frac{(\pm y)^2}{b^2}=\frac{(\pm x)^2}{a^2}-1$$Wir können uns bei der Berechnung der Volumina also auf den ersten Quadranten beschränken, müssen die Ergebnisse aber am Ende verdoppeln. (Bei der Rotation um die \(x\)-Achse erhalten wir nur das Volumen rechts von der \(y\)-Achse, links davon findet sich aber dasselbe Volumen nochmal. Bei der Rotation um die \(y\)-Achse erhalten wir nur das Volumen oberhalb der \(x\)-Achse, unterhalb davon findet sich aber dasselbe Volumen nochmal.) Damit haben wir folgende Funktion zu betrachten:$$f(x)=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}\quad;\quad x\in[a;2a]$$Die obere Intervallgrenze \(2a\) folgt aus der Aufgabenstellung.
Bei der Rotation um die \(x\)-Achse erhalten wir Kreise mit dem Radius \(f(x)\) und der Fläche \(\pi f^2(x)\), die wir entlang der \(x\)-Achse zum Rotationsvolumen addieren. Der Faktor \(2\) vor dem Integral berücksichtigt die oben betrachtete Symmetrie:
$$V_x=2\cdot\int\limits_a^{2a}\pi f^2(x)\,dx=2\cdot\int\limits_a^{2a}\pi \frac{b^2}{a^2}(x^2-a^2)\,dx=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{x=a}^{2a}$$$$\phantom{V_x}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left[\left(\frac{8a^3}{3}-2a^3\right)-\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right)\right]=\frac{8}{3}\pi ab^2$$
Bei der Rotation um die \(y\)-Achse erhalten wir Kreise mit dem Radius \(x\) und der Fläche \(\pi x^2\), die wir entlang der \(y\)-Achse zum Rotationsvolumen addieren. Der Faktor \(2\) vor dem Integral berücksichtigt wieder die oben betrachtete Symmetrie:
$$V_y=2\cdot\int\limits_{y(a)}^{y(2a)}\pi x^2\,dy=2\cdot\int\limits_{a}^{2a}\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=2\cdot\int\limits_{a}^{2a}\pi x^2\cdot\frac{b^2}{a^2}\cdot\frac{2x}{2\sqrt{x^2-a^2}}\,dx$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\int\limits_{a}^{2a}\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}\,dx=\frac{2\pi b^2}{a^2}\int\limits_{a}^{2a}\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}}_{=v'}\,dx$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2-a^2}}_{=v}\right]_{x=a}^{2a}-\int\limits_{a}^{2a}\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{x^2-a^2}}_{=v}\,dx\right)$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(4a^2\cdot\sqrt{4a^2-a^2}-\left[\frac{2}{3}(x^2-a^2)^{3/2}\right]_{x=a}^{2a}\right)$$$$\phantom{V_y}=\frac{2\pi b^2}{a^2}\left(4\sqrt3\,a^3-\frac{2}{3}\sqrt{27}a^3\right)=\frac{2\pi b^2}{a^2}\cdot2\sqrt3\,a^3=4\sqrt3\,\pi\,ab^2$$
Dieses Volumen \(V_y\) ist das zwischen den beiden Hyperbelästen, wo eigentlich kein "Material" ist. Es kann sein, dass du das noch von dem Volumen eines Zylinders \(\pi\cdot(2a)^2\cdot 2\,y(2a)\) subtrahieren musst, um das Volumen mit "Material" zu finden. Da weiß ich leider nicht, wie ihr das im Unterricht vereinbart habt.
