Berechne den Winkel β, den eine der vier Dachsparren mit der Dachfläche bildet und die Höhe des geänderten Turms.

Question

Aufgabe:

Auf einem Spielplatz soll ein würfelförmiger Turm der Breite 3m gebaut werden. Auf dem Turms ist ein Dach in Form eines geraden Pyramidenstumpfes der Höhe 0,5m. Drei Punkte der oberen Dachfläche haben die Koordinaten I(0,5/0,5/3,5) K(2,5/0,5/3,5) und L(0,5/2,5/3,5)

Ich habe noch die andere Punkte des Quadrat bestimmen: A(0/0/0), B(3/0/0), C(3/3/0), D(0/3/0), E(0/0/3), F(3/0/3), G(3/3/3), H(0/3/3)

Problem/Ansatz:

g) Das Dach soll zu einer gleichmäßigen Pyramide ergänzt werden, indem die Kanten verlängert werden. Berechne den Winkel β, den eine der vier Dachsparren mit der Dachfläche bildet und die Höhe des geänderten Turms.

Ich habe die Lösung gefunden: β soll 54,7° sein und die Höhe 4,5m; mir ist nicht nur klar, wie man auf dieser Ergebnisse kommen kann. Kann es mir jemand erklären, bzw. zeigen, wie es man berechnen kann.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

a) Winkel β

Berechne den Winkel zwischen der Pyramidenkante \( \overrightarrow{EI} \) und der darunter verlaufenden Dachdiagonalen \( \overrightarrow{EG} \) mit dem Skalarprodukt.

b) Höhe der Pyramidenspitze

Nimm die Pyramidenkante, die oberhalb von A anfängt, nämlich bei der der Vektor nun verlängert werden soll bis zur Pyramidenspitze mit der x-Koordinate 1,5 und der y-Koordinate 1,5.

E(0/0/3)

I(0,5/0,5/3,5)

\( \overrightarrow{OE} + s \cdot \overrightarrow{EI} = \begin{pmatrix} 1,5\\1,5\\z \end{pmatrix}\) 

0 + 0,5 s = 1,5

s = 3

z = 3 + s*(3,5 - 3) = 4,5