Welche der beiden Zahlen 2020^2021 und 2021^2020 ist die größere?

Question

Aufgabe:

Welche der beiden Zahlen 2020²⁰²¹ und 2021²⁰²⁰ ist die größere?

Problem/Ansatz:

Bin da ein wenig unentschlossen, wie das erwartet wird. Weil im Studium sind wir gerade bei Differenzierbarkeit und ich weiß jetzt nicht was die Aufgabe damit zu tun hat.

Comments

Müsste das nicht eigentlich in deinem Skript stehen?

Answer 1

Ich weiß nicht was genau was ihr benutzten dürft. Darf TR benutzt werden ?

2020^2021 ? 2021^2020

LN(2020^2021) ? LN(2021^2020)

2021 * LN(2020) ? 2020 * LN(2021)

2021 * 7.610852790 ? 2020 * 7.611347717

15381.53348 ? 15374.92238

15381.53348 > 15374.92238

2020^2021 > 2021^2020

Comments

Also im Studium macht man alles ohne Hilfsmittel, deshalb bin ich ein wenig ratlos , wie das erwartet wird. Hast du noch andere Vorschläge, ohne TR?

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Ich denke da gibt es viele Verschiedene Möglchkeiten

2020^2021 / 2021^2020

2020 * 2020^2020 / 2021^2020

2020 * (2020/2021)^2020

2020 * 2021/2020 * (2020/2021)^2021

2021 * ((2021 - 1)/2021)^2021

2021 * (1 - 1/2021)^2021

≈ 2021 / e > 1

Damit gilt

2020^2021 > 2021^2020

Answer 2

Hallo,

Dein Hinweis auf Differenzierbarkeit führt mich zu folgender Idee: Es geht mit \(x=2020\) um die Frage,

ob

$$x^{1+x}<(1+x)^x \iff x^{\frac{1}{x}} < (1+x)^{\frac{1}{1+x}}$$

Das wäre einfach die Frage, ob die Funktion

$$f(x):=x^{\frac{1}{x}}$$

im relevanten Bereich streng monoton wachsend ist - was Du durch Differenzieren klären kannst.

Gruß