Exponentialgleichung mit vielen Exponenten lösen?

Question

Aufgabe:

Folgende Exponentialgleichung:

Problem/Ansatz:

Ich habe bestimmt 2h daran gessen und schaffe es nicht die zu lösen. Photomath kann sie irgendwie auch nicht lösen. Ich habe leider auch keinen Lösungsweg vom Dozenten bekommen. Wie muss man vorgehen?

Answer 1

$$3^{2x}*5^{3x-4}=3^{x-1}*5^{2-x}$$$$3^{x+1}*5^{4x-6}=1$$$$(x+1)ln(3)+(4x-6)ln(5)=0$$$$x(ln(3)+4ln(5))=6ln(5)-ln(3)$$$$x= \frac{6ln(5)-ln(3)}{4ln(5)+ln(3)}≈1,13556 $$

Comments

Wie hast du den zweiten schritt gemacht. Der Rest ist mir klar.

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ah lol, ich habe es gecheckt. Du dividierst einfach. Oh mein Gott, wie einfach das wäre und wie kompliziert ich gedacht habe...............................

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Ja, ich dividiere, jetzt bist du selbst drauf gekommen . Manchmal sieht man das Einfachste nicht.

Answer 2

Vergleiche nur die Exponenten!

Also 2x=3x-1

und 3x-4 = 2-x

Dann hast du die Lösung!

Comments

Und wie kannst du das einfach so sagen? Denkst du, dass ich das dann einfach an der Klausur so machen kann, ohne verstanden zu haben, weshalb das funktioniert?

Weshalb funktioniert das genau so?

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Ich habe das "nicht einfach so gesagt", sondern habe folgende Überlegung angestellt:

Auf der linken Seite der Gleichung stehen 2 Potenzen genauso wie auf der rechten Seite. Diese Potenzen haben jeweils die gleiche Basis; Potenzen sind gleich, wenn Basis und Exponent gleich sind. Also kann ich die Exponenten gleichsetzen!

Gl. 1:      2x=x-1, also x= -1

Gl. 2:      3x-4 = 2-x, also x= 1,5

Wenn ich diese Werte in die Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich folgendes:

3^-2 * 5^0,5 = 3^-2 * 5^0,5     , was wohl zweifelsfrei richtig ist.

Die Lösung von Hogar führt dagegen zu der Gleichung:

3 ^2,27112 * 5 ^-0,59332 = 3 ^0,13556 * 5 ^0,66444

Hier stimmt zwar das Gleichheitszeichen, aber es gibt unendlich viele Lösungen, wo das Gleichzeitszeichen stimmt, zB:

3 ² * 5 ² = 3 ³ * 5 ^1,3127

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Robinson, das ist völliger Unfug!

Wenn x eine Lösung ist, dann muss x (und zwar an jeder Stelle eingesetzt) die Gleichung erfüllen. Es kann doch x nicht gleichzeitig -1 und 1,5 sein!

Und es gibt bei Hogar auch nicht unendlich viele Lösungen. Es gibt bei ihm EINE Lösung \(x= \frac{6ln(5)-ln(3)}{4ln(5)+ln(3)}≈1,13556 \)

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Genau, Abakus. Das war auch der Grund, weshalb ich so ironisch nachgefragt habe. :D