Gilt hier Äquivalenz?

Question

Liebe Lounge,

mal wieder eine Frage zur Aussagenlogik;

A: f mit f(x)=x

B: F mit F(x)=0.5x² ist Stammfunktion von f.

Komischerweise würde ich sagen, dass die beiden Aussagen äquivalent sind, also A⇔B.

Aber es gibt ja beliebig viele andere Stammfunktionen, sodass F'=f...

Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

Du bist lustig.

Hier schreibst du

Komischerweise würde ich sagen, dass die beiden Aussagen äquivalent sind, also A⇔B.

um eine Zeile später diese Aussage begründet zu widerlegen

Aber es gibt ja beliebig viele andere Stammfunktionen, sodass F'=f...

und dann daran zu zweifeln:

Wo ist mein Denkfehler?

Comments

Hm ok.

Aber wenn ich die beiden einzelnen Implikationen betrachte:

A-->B

stimmt doch-oder?

Wenn f den Term f(x)=x hat, dann folgt, dass F mit F(x)=0.5x^2 eine Stammfunktion von f ist (da F'=f).

B-->A stimmt doch auch?

Wenn F mit F(x)=0.5x^2 eine Stammfunktion von f ist, so gilt F'=f. Somit folgt f(x)=x...

Deshalb: Wo ist der Fehler :(?

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B-->A stimmt doch auch?

Natürlich stimmt das nicht!

Und warum das nicht stimmt, hast du selbst begründet:

Aber es gibt ja beliebig viele andere Stammfunktionen, sodass F'=f...

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Aber B-->A bedeutet doch, wenn B, dann A.

Wenn F(x)=0.5x^2 eine Stammfunktion von f ist, dann ist doch f(x)=x wahr!?

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Sorry, ich habe nicht richtig gelesen.

Sowohl A-->B als auch B-->A sind richtig.

Dein Einwand

Aber es gibt ja beliebig viele andere Stammfunktionen, sodass F'=f...

ist zwar richtig, aber diese Tatsache ist weder Bestandteil der Aussage A noch Bestandteil der Aussage B.

Sprich: Über die Stammfunktion F(x)=0.5x² + C mit C≠0  wird weder in A noch in B gesprochen

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Also darf man schreiben: f(x)=x → F(x)=0.5x^2 ?

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Oder muss es so lauten: f(x)=x → F(x)=0,5x^2 ist EINE Stammfunktion.

Answer 2

Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, was du mit Aussagenlogik meinst.

f und F sind Funktionen, keine Aussagen.

Falls du aber wissen willst, ob f(x) = x = 0.5x² = F(x) gilt, dann ist die Antwort nein.

Du kannst einfach mal Werte einsetzen: f(1)= 1 ≠ 0.5 = 0.5 • 1 = 0.5 • 1² = F(1).

Natürlich kannst du eine Stammfunktion von f finden, die f an der Stelle x=1 schneidet. In dem Fall gibt es eine andere Stelle x' mit f(x')≠/(x').

Falls du die Aussage meinst, dass der wert der Funktion f(x) genau dann x ist, wenn der Wert der Funktion F(x) der gleiche wie 0.5x² ist, dann kommt hier ins Spiel, dass du natürlich F(X) nach oben oder unten verschieben kannst. Dadurch bleibt es eine Stammfunktion (da konstanten beim Ableiten ja wegfallen), aber die Werte der Funktion ändern sich.

Comments

Meine Frage rührt daher:

Darf man schreiben: f('x)=x ⇒ F(x)=1/2x^2 ?

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Darf man schreiben: f('x)=x ⇒ F(x)=1/2x² ?

Nein.

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Und weshalb? Ich glaube das ist mein Denkfehler...

Wenn f(x)=x (was ja wahr sein kann), dann folgt aber doch, dass F(x)=0.5x^2 eine Stammfunktion von f ist?

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Nein, weil F(x)=0.5x² nicht die einzige mögliche Stammfunktion ist. Es gibt noch unendlich viele andere Funktionen, deren Ableitung ebenfalls x ist.

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Aber es steht ja auch da, dass es EINE ist?

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Eben, daher geht das nicht. Was geht ist zu schreiben: f(x) = x ⇒ ∃cF(x) = 0.5x²+c

Aber dann bist du in der Prädikatenlogik erster Stufe.