Partition, Äquivalenzklasse und Äquivalenzrelation zusammenhänge zeigen

Question

Wie kann ich zeigen, dass

(a) Jede Partition einer Menge M erzeugt eine Äquivalenzrelation auf M.
(b) Die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation auf M bilden eine Partition von M.

freue mich über jede Hilfe.

Answer 1

Sei I eine Indexmenge und (M_i) _i∈I eine Partition von M.

Definiere die Relation R=  { (x,y) ∈ MxM | Es gibt ein i∈I mit x∈M_i und y∈M_i }.

Dann ist R eine Äquivalenzrelation.

         reflexiv: Sei x∈M ==>  Es gibt ein i mit x∈Mi weil die Partition M überdeckt.

                                       ==>  (x,x) ∈ R

        die anderen Eigenschaften sind wohl klar.

umgekehrt: R ist Äquivalenzrelation auf M.

==>  Die Äquivalenzklassen überdecken M, weil R reflexiv ist.

         Sie sind paarweise disjunkt, denn sind K und J zwei Klassen

   mit einem gemeinsamen Element, dann haben sie wegen der

Transitivität auch alle Elemente gemeinsam, es ist also nur eine Klasse.