Eigenwerte eines endlichdimensionalen Vektorraums

Question

Aufgabe:Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und sei π ∈ End(V) mit π◦π=π. Zeigen Sie, dass π höchstens die Eigenwerte 0 und 1 besitzt

Answer 1

Hallo

nimm an π hat den Eigenwert a  also π(x)=a*x was gilt dann für π(π(x))=π(a*x)?

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert zu \(\pi\) und sei \(\vec x\) der zugehörige Eigenvektor, dann gilt:$$\pi(\vec x)=\lambda\cdot\vec x$$Für die Hintereinanderausführung von \(\pi\) gilt:

$$(\pi\circ\pi)(\vec x)=\pi(\pi(\vec x))=\pi(\lambda\cdot\vec x)=\lambda\cdot\pi(\vec x)=\lambda\cdot\lambda\cdot\vec x=\lambda^2\cdot\vec x$$

Nach Voraussetzung ist \((\pi\circ\pi)=\pi\) sodass:

$$(\pi\circ\pi)(\vec x)=\pi(\vec x)\implies\lambda^2\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\implies(\lambda^2-\lambda)\cdot\vec x=\vec 0\implies\lambda(\lambda-1)\cdot\vec x=\vec 0$$Da Eigenvektoren ungleich dem Nullvektor sind, folgt \(\lambda=0\) oder \(\lambda=1\).