Lineare Unabhängigkeit und lineare dgl zum Fundamentalsystem angeben.

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen
\( u_{1}(t)=e^{-2 t} \quad \text { und } \quad u_{2}(t)=e^{5 t} \)
linear unabhängig sind. Geben Sie zu dem Fundamentalsystem \( \left\{u_{1}, u_{2}\right\} \) die zugehörige lineare Differentialgleichung \( 2 . \) Ordnung an.

Problem/Ansatz:

Bräuchte hier Hilfe bzw. en Ansatz. Danke !

Answer 1

Hallo,

u= C₁ e^(-2t)+C₂ e^(5t)

u'= -2 C₁ e^(-2t)+5 C₂ e^(5t)

u''= 4C₁ e^(-2t)+25 C₂ e^(5t)

->Einsetzen von u, u', u'' in die DGL, Koeffizientenvergleich

Lösung:

u'' -3u'-10u=0

Comments

Hallo danke für die Antwort,

Wie genau in die DGL einsetzen glaube mache irgendwas naives falsch. Kriege durch das lösen vom Gleichungssystem ganz komische Werte als Koeffizienten .

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allgemein gilt:

u'' +a u' +bu=0

dort u, u', u'' einsetzen

4C₁ e^(-2t) +25C₂ e^(5t) -2aC₁e^(-2t) +5a C₂ e^(5t) +

bC₁e^(-2t)+b C₂e^(5t)=0

->Koeff.vergleich:

C₁ (e^(-2t):      4-2a+b=0

C₂ (e^(5t):     25 +5a +b=0

1) -2a +b= -4

2)  5a+b= -25

->

a=-3

b=-10

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Genau , habs auch eben so aufgeschrieben und paar Rechnerreien missglückten scheinbar bzw. ich sehe irgendwie nicht wie genau ich auf die koeffizienten kommen soll.

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hab die Lösung ergänzt (siehe oben)

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ahh alles klar jetzt... vielen dank.. Manchmal vergisst man bei dem ganzen neuen Stoff die Ansätze von alten Sachen :D