Aufgabe: Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen\( u_{1}(t)=e^{-2 t} \quad \text { und } \quad u_{2}(t)=e^{5 t} \)linear unabhängig sind. Geben Sie zu dem Fundamentalsystem \( \left\{u_{1}, u_{2}\right\} \) die zugehörige lineare Differentialgleichung \( 2 . \) Ordnung an.
Problem/Ansatz:
Bräuchte hier Hilfe bzw. en Ansatz. Danke !
Hallo,
u= C1 e^(-2t)+C2 e^(5t)
u'= -2 C1 e^(-2t)+5 C2 e^(5t)
u''= 4C1 e^(-2t)+25 C2 e^(5t)
->Einsetzen von u, u', u'' in die DGL, Koeffizientenvergleich
Lösung:
u'' -3u'-10u=0
Hallo danke für die Antwort,
Wie genau in die DGL einsetzen glaube mache irgendwas naives falsch. Kriege durch das lösen vom Gleichungssystem ganz komische Werte als Koeffizienten .
allgemein gilt:
u'' +a u' +bu=0
dort u, u', u'' einsetzen
4C1 e^(-2t) +25C2 e^(5t) -2aC1e^(-2t) +5a C2 e^(5t) +
bC1e^(-2t)+b C2e^(5t)=0
->Koeff.vergleich:
C1 (e^(-2t): 4-2a+b=0
C2 (e^(5t): 25 +5a +b=0
1) -2a +b= -4
2) 5a+b= -25
->
a=-3
b=-10
Genau , habs auch eben so aufgeschrieben und paar Rechnerreien missglückten scheinbar bzw. ich sehe irgendwie nicht wie genau ich auf die koeffizienten kommen soll.
hab die Lösung ergänzt (siehe oben)
ahh alles klar jetzt... vielen dank.. Manchmal vergisst man bei dem ganzen neuen Stoff die Ansätze von alten Sachen :D
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