... gibt es da auch eine Formel oder ein Gesetz das ich mir anschauen könnte, um es zu verstehen wieso man das macht.
Das Ziel ist es letzlich auf den Ausdruck in Zeile 11 zu kommen. Die 'Hauptarbeit' ist sicher, diese Summe aus drei Summanden zu einem Produkt zu machen. Das geht i.A: einfacher, wenn kein Faktor vor dem Term mit der höchsten Potenz steht, also hier dem \(n^2\). Die pq-Formel lässt sich auch nur anwenden, wenn dort kein Faktor, bzw. der Faktor 1, steht.
Ich persönlich hätte ab Zeile (3) den Bruch 'rausgezogen'$$\phantom{=}\frac12 n(3n-1) + 3n+1 \\ = \frac 12\left( n(3n-1) + 2(3n+1)\right) \\= \frac 12\left( 3n^2 + 5n +2\right)$$Wenn die Koeffizienten ohne \(n\) im Produkt ganzzahlig sind, könne sie nur 1 und 2 sein, da \(1 \cdot 2 = 2\) ist. Für die mit \(n\) gilt das gleiche, es ginge nur 1 und 3 da \(1 \cdot 3=3\).
Demnach sind die Kandidaten für das Produkt$$(3n+1)(n+2)$$oder$$(3n+2)(n+1)$$und da man weiß, dass \((n+1)\) drin vorkommen muss, checkt man eben den zweiten Ausdruck$$(3n+2)(n+1) = 3n^2 + \underbrace{3n + 2n}_{=5n} +2 \space \checkmark$$Tipp: mit ganzen Zahlen rechnet es sich leichter.
