Funktionen: Streng Monotones Wachstum?

Question

Aufgabe:

Es seien f, g :  R → R zwei streng monoton wachsende Funktionen

Problem/Ansatz:

(1) Ich soll hier zeigen, dass f ^-1: f (R) → R streng monoton wächst.

(2) Zudem soll ich angeben welche der folgenden Funktionen streng monoton wächst:

  
f + g,   fg,  f ◦ g

Answer 1

(1) Ich soll hier zeigen, dass f ^-1: f (R) → R streng monoton wächst.

Seien y1,y2 ∈ f(R) mit y1 < y2 . Dann ist zu zeigen f^-1(y1)<f^-1(y2).

==>  Es gibt x1,x2 ∈ R mit f(x1) = y1 und f(x2)=y2

Angenommen es wäre x1≥x2 dann wäre wegen der strengen Monotonie

              f(x1) ≥ f(x2) also y1 ≥ y2  im Widerspruch zu oben.

Somit gilt x1 < x2 .  Wegen f(x1) = y1 und f(x2)=y2

         ==>    f-1(y1)  = x1   und  f-1(y2) = x2  also

                                   f-1(y1)<f-1(y2). q.e.d.