Stammfunktion bestimmen von f

Question

Aufgabe:

Man soll die Stammfunktion von:

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll}(x-1)^{2} & \text { für }-1 \leq x \leq 1 \\ \frac{\log ^{2}(x)}{x^{2}} & \text { für } 1<x \leq 3\end{array}\right. \)

Bestimmen.
Problem/Ansatz:

Die erste Stammfunktion lautet: (x-1)^3/3 , die zweite stammfunktion vom zweiten Term lautet:

(-log^2/x)*(2log/x)*(-2/x)

Wäre die aufgabe fertig oder muss man beide integrale noch miteinander verrechnen?

Answer 1

Hallo,

die Stammfunktion wird ebenfalls abschnittsweise ermittelt. Dein Ansatz ist richtig, ich bin mir aber nicht sicher, ob du zweiteres Integral richtig berechnet hast.

Comments

Muss die stammfunktion nicht wieder stetig sein? Meine stammfunktionen sind auf den gegebenen intervall nicht stetig

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Hallo,

eine Stellschraube, die du hast, um das zu beheben, sind die jeweiligen Integrationskonstanten. An der Nahtstelle müssen die beiden Stammfunktionen übereinstimmen.

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Das wäre ja an der stelle x=1... wäre ein geeignter ansatz sowas wie:

(-log^2(1)/1)*(2log(1)/1)*(-2/1)+C=(1-1)^3/3+B ? Also x=1 einsetzen und nach den konstanten auflösen

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Ja, die eine Integrationskonstante sollte dann von der anderen abhängen. Die Beziehung kannst du dann ausnutzen.

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EDIT: Ich merke gerade aber nicht, wie das hilft - du?

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Ok, danke schön

Ähm, also die funktion soll doch auf den intervall stetig sein, damit man sie wieder ableiten kann, oder irre ich mich? Dachte bei so einer funktion musste man das beachten...

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Ja, es gibt eine bekannte Redeweise, die besagt, dass "Integration glättet", d. h., dass die durch die Integration erhaltene Stammfunktion einmal öfter differenzierbar als der Integrand und in diesem Sinne "glätter" ist. Aber intuitiv hätte ich gesagt, dass man das so macht, wie beschrieben (so würde man ja auch das bestimmte Integral über bspw. [-1,3] berechnen)

Problem: Ich glaube, dass man das mit den Integrationskonstanten nicht hinbekommt.

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Wie könnte man dann das problem lösen?

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Ich denke darüber nach. Führe ggf. mal eine Dummy-Variable ein und betrachte:$$F_1(x)=\int \limits_{-1}^{x}(t-1)^2\, \mathrm{d}t=\frac{x^3-3x^2+3x+7}{3} \\ F_2(x)=\int \limits_{1}^{x}\frac{\ln^2(t)}{t^2}\, \mathrm{d}t=-\frac{\ln^2\left(x\right)+2\ln\left(x\right)-2x+2}{x}$$

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Was aber würde das bringen?

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Du betrachtest \(f_1\) ja eigentlich nur auf \([-1,1]\) und \(f_2\) auf \((1,3]\).

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Tut mir Leid, ich bin mir aber nicht sicher, was du meinst.