Integrationsgebiet skizzieren von Doppelintegral

Question

Ich soll zu folgender Aufgabe das Integrationsgebiet zeichen bzw. skizzieren.

$$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x$$

Kann mir jemand zeigen, wie das auszusehen hat (die Skizze)?

Vielleicht könnte mir auch gleich jemand noch erklären, wie ich dieses Doppelintegral zu lösen habe. Dankeschön! :)

Answer 1

Färbe alle Punkte blau, deren y-Koordinate zwischen 0 und 2 liegt.

Färbe alle Punkte gelb, deren x-Koordinate zwischen 0 und 3 liegt.

Das Integrationsgebiet besteht jetzt aus allen Punkten, die grün sind.

Zur Berechnung, ersetze in dem Ausdruck

        $\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x$

den Teil

        $\int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y$

durch den Wert dieses Integrals.

Comments

Deine Antwort macht keinen Sinn.

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Wenn du Blau und Gelb mischst, dann bekommst du Grün.

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Ich studiere kein Kunst :D
Ich würde gerne wissen, wie das skizziert aussieht als Bild.

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$$\int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y = \frac{16}{3}$$

Wenn ich das jetzt einsetze, dann würde das ja praktisch so aussehen: $$\int_{0}^{3} \frac{16}{3} d x =16$$

Stimmt das?

Würde bedeuten: $$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x = 16$$

Wolfram Alpha sagt aber, dass 56 rauskommen muss.

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OK, dann dieses mal halt farblos.

Zeichne die Geraden y = 0 und y = 2.

Zeichne die Geraden x = 0 und x = 3.

Das Integrationsgebiet ist das Gebiet, das durch diese vier Geraden begrenzt wird.

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$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x = 16$

Stimmt.

Wolfram Alpha sagt aber, dass 56 rauskommen muss.

Stimmt nicht. Wolfram Alpha sagt, dass bei

      $\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y\right)^{2} \mathrm{d} y \mathrm{~d} x$

56 rauskommen muss.

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Du meinst also so?

Das ergibt nicht so viel Sinn weil da steht $$\left(4-y^{2}\right)$$

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@oswald
wo ist denn der Unterschied zwischen beiden Gleichungen? Ich seh keinen.

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ok, bezüglich der skizze: Hat sich erledigt. Hatte einen Denkfehler.

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Du meinst also so?

Die Gerade x = 3 ist etwas zu weit links, sie sieht eher wie die Gerade x = 2 aus.

Das ergibt nicht so viel Sinn weil da steht $\left(4-y^{2}\right)$

Der Integrand $\left(4-y^{2}\right)$ hat keinen Einluß darauf, wie das Integrationsgebiet aussieht. Das Integrationsgebiet hängt ausschließelich von den Integrationsgrenzen ab.

wo ist denn der Unterschied zwischen beiden

In dem einen Fall wir $y$ quadriert, in dem anderen Fall wird $4-y$ quadriert.

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Ja, die Gerade müsste bei x=3 sein. Hatte mich verzeichnet. Sorry.

Ach stimmt. Ich hab nicht gesehen, dass die hoch 2 hinter der Klammer war. Ja ok, dann hatte ich mich vertippt. Sorry. Danke, dass du mir das gesagt hast! :) 

Dieses Doppelintegral zu zeichnen ist irgendwie bisschen komisch.

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Sieht dann wahrscheinlich so aus.