Integrationsgebiet skizzieren von Doppelintegral

Question

Ich soll zu folgender Aufgabe das Integrationsgebiet zeichen bzw. skizzieren.

$$\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x$$

Kann mir jemand zeigen, wie das auszusehen hat (die Skizze)?

Vielleicht könnte mir auch gleich jemand noch erklären, wie ich dieses Doppelintegral zu lösen habe. Dankeschön! :)

Answer 1

Färbe alle Punkte blau, deren y-Koordinate zwischen 0 und 2 liegt.

Färbe alle Punkte gelb, deren x-Koordinate zwischen 0 und 3 liegt.

Das Integrationsgebiet besteht jetzt aus allen Punkten, die grün sind.

Zur Berechnung, ersetze in dem Ausdruck

        \(\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x\)

den Teil

        \(\int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y\)

durch den Wert dieses Integrals.

Comments

Deine Antwort macht keinen Sinn.

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Wenn du Blau und Gelb mischst, dann bekommst du Grün.

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Ich studiere kein Kunst :D
Ich würde gerne wissen, wie das skizziert aussieht als Bild.

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$$ \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y =  \frac{16}{3} $$

Wenn ich das jetzt einsetze, dann würde das ja praktisch so aussehen: $$ \int_{0}^{3} \frac{16}{3} d x =16 $$

Stimmt das?

Würde bedeuten: $$ \int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x = 16 $$

Wolfram Alpha sagt aber, dass 56 rauskommen muss.

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OK, dann dieses mal halt farblos.

Zeichne die Geraden y = 0 und y = 2.

Zeichne die Geraden x = 0 und x = 3.

Das Integrationsgebiet ist das Gebiet, das durch diese vier Geraden begrenzt wird.

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\(\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x = 16\)

Stimmt.

Wolfram Alpha sagt aber, dass 56 rauskommen muss.

Stimmt nicht. Wolfram Alpha sagt, dass bei

      \(\int_{0}^{3} \int_{0}^{2}\left(4-y\right)^{2} \mathrm{d} y \mathrm{~d} x\)

56 rauskommen muss.

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Du meinst also so?

Das ergibt nicht so viel Sinn weil da steht $$ \left(4-y^{2}\right) $$

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@oswald
wo ist denn der Unterschied zwischen beiden Gleichungen? Ich seh keinen.

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ok, bezüglich der skizze: Hat sich erledigt. Hatte einen Denkfehler.

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Du meinst also so?

Die Gerade x = 3 ist etwas zu weit links, sie sieht eher wie die Gerade x = 2 aus.

Das ergibt nicht so viel Sinn weil da steht \(\left(4-y^{2}\right)\)

Der Integrand \(\left(4-y^{2}\right)\) hat keinen Einluß darauf, wie das Integrationsgebiet aussieht. Das Integrationsgebiet hängt ausschließelich von den Integrationsgrenzen ab.

wo ist denn der Unterschied zwischen beiden

In dem einen Fall wir \(y\) quadriert, in dem anderen Fall wird \(4-y\) quadriert.

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Ja, die Gerade müsste bei x=3 sein. Hatte mich verzeichnet. Sorry.

Ach stimmt. Ich hab nicht gesehen, dass die hoch 2 hinter der Klammer war. Ja ok, dann hatte ich mich vertippt. Sorry. Danke, dass du mir das gesagt hast! :) 

Dieses Doppelintegral zu zeichnen ist irgendwie bisschen komisch.

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Sieht dann wahrscheinlich so aus.