Probleme mit einer vollständigen Induktion

Question

Aufgabe: Problem mit dem Beweis und der Ableitung der folgenden Aufgabe.

Problem/Ansatz:

ich habe Probleme hier den Induktionsschritt durchzuführen, bzw. die richtige Ableitung zu finden und mit dem Beweis danach ebenfalls. Könnte mir jemand bitte schrittweise erklären wie diese Aufgabe zu lösen ist ?

Text erkannt:

Sei \( f:\left(-\infty, \frac{1}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{x}{1-2 x} \)
a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für \( n \geq 1 \) die \( n \) -te Ableitung durch
$$ f^{(n)}(x)=\frac{2^{n-1} n !}{(1-2 x)^{n+1}} $$
gegeben ist.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Ableitungen der folgenden Funktion:$$f(x)=\frac{x}{1-2x}\quad;\quad x\in\left(-\infty\,;\,\frac{1}{2}\right)$$Behauptet wird, dass die \(n\)-te Ableitung wie folgt aussieht:$$f^{(n)}(x)=\frac{2^{n-1}n!}{(1-2x)^{n+1}}\quad;\quad n\ge1$$Wir zeigen das durch vollständige Induktion.

Verankerung bei \(n=1\):$$f'(x)=\left(\frac{x}{1-2x}\right)'=\frac{1\cdot(1-2x)-x\cdot(-2)}{(1-2x)^2}=\frac{1}{(1-2x)^2}=\frac{2^{n-1}\cdot n!}{(1-2x)^{n+1}}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$f^{(n+1)}(x)=\left(\frac{2^{n-1}\cdot n!}{(1-2x)^{n+1}}\right)'=2^{n-1}n!\cdot\left((1-2x)^{-(n+1)}\right)'$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=2^{n-1}n!\cdot(-(n+1))\cdot(1-2x)^{-(n+1)-1}\cdot(-2)$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=2^n(n+1)!\cdot(1-2x)^{-n-2}$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=\frac{2^n(n+1)!}{(1-2x)^{n+2}}=\frac{2^{(n+1)-1}(n+1)!}{(1-2x)^{(n+1)+1}}\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank, ich war seit gestern an dieser Aufgabe am verzweifeln. :))

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Danke , dann kann ich mir meinen nächsten Schritt ja sparen.

Answer 2

Gut, ich fange mal an.

Der erste Schritt ist , dass du die erste Ableitung bildest.

Das ist der Induktions- Anfang.

Wenn diese mit der abgebildeten Funktion übereinstimmt, dann nimmst du an, dass diese Funktion auch für die nte Ableitung richtig ist.

Du leitest diese noch einmal ab. Wenn dann deine Ableitung mit der Funktion übereinstimmt, in dem man dort für n = n+1 setzt, bist du fertig. Wemn nicht, stimmt die Aussage nicht.

Es geht also darum, die Ableitungsregeln zu benutzen ( Kettenregel, Produktregel bzw. Quotientenregel)

\(f^{(n)}(x)=\frac{2^{n-1} n !}{(1-2 x)^{n+1}} \)

Der Induktionsanfang stimmt schon mal

$$f^{(1)}(x)=\frac{1}{(1-2 x)^{2}} =\frac{2^{1-1} 1 !}{(1-2 x)^{1+1}}$$

Du musst also nur

\(f^{(n)}(x)=\frac{2^{n-1} n !}{(1-2 x)^{n+1}} \) ableiten.