Bestimmen Sie die partiellen Ableitun gen erster und zweiter Ordnu ng von f .

Question

Text erkannt:

Gegeben ist die Funkt ion $f$ in zwei Verän de rlichen mit
$$f(x, y)=\frac{1}{y(x-1)}$$
Bestimmen Sie die partiellen Ableitun gen erster und zweiter Ordnu ng von $f$.

Kann mir wer wenn möglich bitte eine Lösung zeigen und auch mit rechenweg das ich es verstehen kann

Vielen Dank im voraus! schönen Abend euch noch

Answer 1

Die Ableitungsregeln sind nicht anders als bei Funktionen mit nur einer Variablen. Die Variable, nach der gerade NICHT abgeleitet wird. zählt als Konstante.

Answer 2

Aloha :)

Wenn die Funktion von mehreren Variablen abhängt, betrachtest du einfach alle Variablen wie konstante Zahlen, bis auf die eine Variable, nach der du partiell ableitest.

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x-1}\right)=-\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}$$$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{x-1}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right)=-\frac{1}{x-1}\cdot\frac{1}{y^2}$$

Bei den Ableitungen zweiter Ordnung verfährst du ebenso:

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\frac{1}{y}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{(x-1)^2}\right)=\frac{1}{y}\cdot\frac{2}{(x-1)^3}$$$$\frac{\partial^2}{\partial y\partial x}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{y}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}\right)=-\frac{1}{(x-1)^2}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{(x-1)^2}\cdot\frac{1}{y^2}$$$$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{x-1}\cdot\frac{1}{y^2}\right)=-\frac{1}{y^2}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\frac{1}{y^2}\cdot\frac{1}{(x-1)^2}$$$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{y(x-1)}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{x-1}\cdot\frac{1}{y^2}\right)=-\frac{1}{x-1}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y^2}\right)=\frac{1}{(x-1)}\cdot\frac{2}{y^3}$$