Hallo Rosita,
gehe die Definitionen von 'Skalarprodukt' Schritt für Schritt durch. Zerleg vorher noch die beiden Matrizen in ihre Spaltenvektoren. Es sei $$A = \begin{pmatrix} a_1& a_2& \dots& a_n\end{pmatrix}, \quad a_k \in \mathbb R^n\\ B = \begin{pmatrix} b_1& b_2& \dots& b_n\end{pmatrix}, \quad b_k \in \mathbb R^n$$Ist \(C = A^T \cdot B\), so ist ein Element \(c_{k,k} \in \mathbb R\) der Hauptdiagonale von C$$c_{k,k} = a_k^T \cdot b_k$$und die Spur $$\begin{aligned}\text{spur}(C) &= \sum_{k=1}^n c_{k,k} \\ \text{spur}(A^T \cdot B) &= \sum_{k=1}^n a_k^T \cdot b_k\end{aligned}$$und damit ist eigentlich schon alles gezeigt. Man kann es aber auch im Detail durchgehen. Von:
$$\left< A + Z,\, B\right> = \left< A,\, B\right> + \left< Z,\, B\right>$$
$$\sum_{k=1}^n \left( a_k^T + z_k^T\right) \cdot b_k = \sum_{k=1}^n a_k^T \cdot b_k + \sum_{k=1}^n z_k^T \cdot b_k \space \checkmark$$
Über
$$\left< A ,\, B + Z\right> = \left< A,\, B\right> + \left< A,\, Z\right>\\ \left< \lambda A ,\, B\right> = \lambda \left< A,\, B\right> \\ \left< A ,\, \lambda B\right> = \lambda \left< A,\, B\right>\\ \left< A ,\, B\right> = \left< B,\, A\right> \\ \left< A,\, A\right> \ge 0$$
Bis
$$ \left< A,\, A\right> = 0 \quad \text{für} \space A = \underline 0$$
Das ist trivial, Hier gilt für alle \(a_k = \vec 0\) und \(a_k^T \cdot a_k = 0\). Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
