Kontrolllösung zu Summer einer geometrischen Folge

Question

Aufgabe:

∑ (k = 1 bis ∞) (q^(2k-1))

Meine Lösung: (1/1-q^2) - 1

Answer 1

Hallo,

ich sehe das so, falls \(|q|<1\):

$$\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k-1}=q^{-1}\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k}=q^{-1}\left(\frac{1}{1-q^2}-1\right)=\frac{q}{1-q^2}$$

Gruß

Comments

So müsste der Fall q=0 separat betrachtet werden.

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Danke für den Hinweis, ja q=0 ist ein Sonderfall für diese Herleitung.

Gruß

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Wie kommt man am Ende auf q/1-q^2?

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Ich komme auf 1/1-q^2, da man noch kürzen kann

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Man hat

$$q^{-1}\left(\frac{1-(1-q^2)}{1-q^2}\right) = q^{-1}\left(\frac{q^2}{1-q^2}\right)$$

$$=\frac{q}{1-q^2}$$

Gruß

Answer 2

Für 0<q<1 ist \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^{2k-1}} \)=\( \frac{1/q}{q^2-1} \).

Comments

Wie kommt man darauf?

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Z.B. mit Hilfe eines CAS.

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Kannst du hierzu nochmal einen Rechenweg aufschreiben, damit es etwas verständlicher ist?w

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Wie kann der Summenwert negativ sein?

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q^2k-1=(q²)^k·\( \frac{1}{q} \). Ziehe \( \frac{1}{q} \) vor das Summenzeichen. Setze q²=p und bestimme \( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{p^k} \) mit Hilfe der Formelsammlung. Resubstituiere  q²=p.

Negativ kann der Summenwert sein, wenn q negativ ist. Deswegen hatte ich geschrieben 0<q<1.

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Okay. Wie kommst du aber nun auf /q^2-1. Es muss doch 1-q^2 lauten

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Deine Formel liefert für alle q mit 0<q<1 negative Werte. Das kann nicht sein.

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Das glaube ich auch

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Du hast recht, ich hab mich verschrieben.

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Dann 1/q/1-q^2

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Die richtige Antwort gibt MathePeter unten.