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Aufgabe:

∑ (k = 1 bis ∞) (q^(2k-1))


Meine Lösung: (1/1-q2) - 1

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Hallo,

ich sehe das so, falls q<1|q|<1:

k=1q2k1=q1k=1q2k=q1(11q21)=q1q2\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k-1}=q^{-1}\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k}=q^{-1}\left(\frac{1}{1-q^2}-1\right)=\frac{q}{1-q^2}

Gruß

Avatar von 14 k

So müsste der Fall q=0 separat betrachtet werden.

Danke für den Hinweis, ja q=0 ist ein Sonderfall für diese Herleitung.

Gruß

Wie kommt man am Ende auf q/1-q2?

Ich komme auf 1/1-q2, da man noch kürzen kann

Man hat

q1(1(1q2)1q2)=q1(q21q2)q^{-1}\left(\frac{1-(1-q^2)}{1-q^2}\right) = q^{-1}\left(\frac{q^2}{1-q^2}\right)

=q1q2=\frac{q}{1-q^2}

Gruß

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Für 0<q<1 ist n=1q2k1 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^{2k-1}} =1/qq21 \frac{1/q}{q^2-1} .

Avatar von 124 k 🚀

Wie kommt man darauf?

Z.B. mit Hilfe eines CAS.

Kannst du hierzu nochmal einen Rechenweg aufschreiben, damit es etwas verständlicher ist?w

Wie kann der Summenwert negativ sein?

q2k-1=(q2)k·1q \frac{1}{q} . Ziehe 1q \frac{1}{q} vor das Summenzeichen. Setze q2=p und bestimme k=1pk \sum\limits_{k=1}^{\infty}{p^k} mit Hilfe der Formelsammlung. Resubstituiere  q2=p.

Negativ kann der Summenwert sein, wenn q negativ ist. Deswegen hatte ich geschrieben 0<q<1.

Okay. Wie kommst du aber nun auf /q2-1. Es muss doch 1-q2 lauten

Deine Formel liefert für alle q mit 0<q<1 negative Werte. Das kann nicht sein.

Das glaube ich auch

Du hast recht, ich hab mich verschrieben.

Dann 1/q/1-q2

Die richtige Antwort gibt MathePeter unten.

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