Aufgabe:
∑ (k = 1 bis ∞) (q^(2k-1))
Meine Lösung: (1/1-q2) - 1
Hallo,
ich sehe das so, falls ∣q∣<1|q|<1∣q∣<1:
∑k=1∞q2k−1=q−1∑k=1∞q2k=q−1(11−q2−1)=q1−q2\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k-1}=q^{-1}\sum_{k=1}^{\infty}q^{2k}=q^{-1}\left(\frac{1}{1-q^2}-1\right)=\frac{q}{1-q^2}k=1∑∞q2k−1=q−1k=1∑∞q2k=q−1(1−q21−1)=1−q2q
Gruß
So müsste der Fall q=0 separat betrachtet werden.
Danke für den Hinweis, ja q=0 ist ein Sonderfall für diese Herleitung.
Wie kommt man am Ende auf q/1-q2?
Ich komme auf 1/1-q2, da man noch kürzen kann
Man hat
q−1(1−(1−q2)1−q2)=q−1(q21−q2)q^{-1}\left(\frac{1-(1-q^2)}{1-q^2}\right) = q^{-1}\left(\frac{q^2}{1-q^2}\right)q−1(1−q21−(1−q2))=q−1(1−q2q2)
=q1−q2=\frac{q}{1-q^2}=1−q2q
Für 0<q<1 ist ∑n=1∞q2k−1 \sum\limits_{n=1}^{\infty}{q^{2k-1}} n=1∑∞q2k−1=1/qq2−1 \frac{1/q}{q^2-1} q2−11/q.
Wie kommt man darauf?
Z.B. mit Hilfe eines CAS.
Kannst du hierzu nochmal einen Rechenweg aufschreiben, damit es etwas verständlicher ist?w
Wie kann der Summenwert negativ sein?
q2k-1=(q2)k·1q \frac{1}{q} q1. Ziehe 1q \frac{1}{q} q1 vor das Summenzeichen. Setze q2=p und bestimme ∑k=1∞pk \sum\limits_{k=1}^{\infty}{p^k} k=1∑∞pk mit Hilfe der Formelsammlung. Resubstituiere q2=p.
Negativ kann der Summenwert sein, wenn q negativ ist. Deswegen hatte ich geschrieben 0<q<1.
Okay. Wie kommst du aber nun auf /q2-1. Es muss doch 1-q2 lauten
Deine Formel liefert für alle q mit 0<q<1 negative Werte. Das kann nicht sein.
Das glaube ich auch
Du hast recht, ich hab mich verschrieben.
Dann 1/q/1-q2
Die richtige Antwort gibt MathePeter unten.
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