Aloha :)
Wenn der Graph von \(f(x)\) die Normalparabel schneiden soll, muss gelten:$$f(x)\stackrel!=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{3}{4}e^x+x^2-2x+1=x^2\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{3}{4}e^x-2x+1=0$$Wir müssen also prüfen, ob die Funktion$$g(x)\coloneqq\frac{3}{4}e^x-2x+1$$Nullstellen hat. Das tun wir indirekt, indem wir die Extrema der Funktion suchen:
$$g'(x)=\frac{3}{4}e^x-2\stackrel!=0\quad\implies\quad\frac{3}{4}e^x=2\quad\implies\quad e^x=\frac{8}{3}\quad\implies\quad x=\ln\left(\frac{8}{3}\right)$$$$g''(x)=\frac{3}{4}e^x\quad\implies\quad g''\left(\ln\left(\frac{8}{3}\right)\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}=2>0\implies\text{Minimum}$$$$g\left(\ln\left(\frac{8}{3}\right)\right)=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{3}-2\ln\left(\frac{8}{3}\right)+1=3-2\ln\left(\frac{8}{3}\right)\approx1,038$$Unsere Hilfsfunktion \(g(x)\) hat also einen minimalen Wert von \(1,038\), kann also niemals \(=0\) werden. Daher haben \(f(x)\) und die Normalparabel \(x^2\) keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
~plot~ 0,75*e^x+x^2-2x+1 ; x^2 ; [[-3|3|-1|8]] ~plot~
Die Hilfsfunktion \(g(x)\) sieht so aus:
~plot~ 3/4*e^x-2x+1 ; [[-3|3|0|7]] ~plot~
