Welchen Radius und welche Höhe hat die optimale Dose?

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2: Eine Konservendose mit 850ml Inhalt soll so gebaut werden, dass der Blech- verbrauch minimal ist. Wir vernachlässigen Materialstärke und Falznähte und neh- men an, dass es sich bei der Dose um einen einfachen Zylinder mit Radius r und Höhe h handelt. Welchen Radius und welche Höhe hat die optimale Dose? Verglei- chen Sie Ihre gefundenen Werte mit den Maßen einer real existierenden Dose aus dem Supermarkt.
Hinweis: Es ist sinnvoll, zunächst Funktionen aufzustellen, die das Volumen und den Blechverbrauch für gegebenen Radius und Höhe beschreiben. Da das Volumen kon- stant 850ml sein soll, können Sie dann die Höhe als Funktion des Radius beschreiben. Hier ist die Benutzung von Rechenhilfsmitteln zur Ermittlung des Endergebnisses explizit erwünscht.

Problem/Ansatz:

Ich entschuldige mich noch mal für die Störung wäre jemand so lieb kann mir vielleicht bei dieser Aufgabe auch helfen

Comments

Ich entschuldige mich noch mal für die Störung .
Du brauchst dich nicht zu entschuldigen.
Dazu ist das Forum da.

Answer 1

Extremalproblem:

Hauptbedingung: O(r,h)=2πr²+2πrh

Die Oberfläche des Zylinders setzt sich aus den beiden Kreisflächen (2πr²) und der Mantelfläche (2πrh) zusammen.

Wir suchen jetzt eine Nebenbedingung um die Gleichung der Oberfläche nur noch in Abhängigkeit einer Variablen zu haben.

Nebenbedingung: V(r,h)=πr²h

V=850ml=850cm³

Nebenbeding wird jetzt nach h umgestellt und in die Hauptbedingung eingesetzt, um eine Zielfunktion zu erhalten, welche abgeleitet und auf Extrema überprüft werden kann!

h=\( \frac{850}{πr^2} \)

Zielfunktion: O(r)=2πr²+2πr\( \frac{850}{πr^2} \) ein r wird sich herauskürzen und man erhält:

O(r)=2πr²+2π\( \frac{850}{πr} \)

jetzt O'(r) bilden, gleich Null setzen und das hinreichende Kriterium überprüfen falls nötig und du hast den gesuchten Radius und kannst damit auch die Höhe bestimmen.

VG Steffen