Grenzwert der Reihe, schwer

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei die Reihe
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{5} \cdot(5 n-9)}{5 n-4}\right)^{3 n^{2}} \cdot n^{-5} $$
Bestimmen Sie für \( a_{n}:=\left(\frac{\sqrt[n]{5} \cdot(5 n-9)}{5 n-4}\right)^{3 n^{2}} \cdot n^{-5} \) den folgenden Grenzwert und geben Sie inn exakt ein:
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}= $$
[Geben Sie etwa \( \frac{4 e^{-2}}{3} \) in der Form \( 4^{*} \mathrm{e}^{\wedge}-2 / 3 \) an; \( \infty \) als oo; falls der Grenzwert nicht existiert, geben Sie \( \times \) ein.
Mithilfe des \( \quad \) -Kriteriums folgern wir, dass die gegebene Reihe Bitte auswahlen \( \mathbf{P} \)
[Sie dürfen für Ihre Entscheidung zur Konvergenz bei Bedarf einen Taschenrechner verwenden.]

Answer 1

Aloha :)$$a_n\coloneqq\frac{1}{n^5}\left(\frac{\sqrt[n]{5}(5n-9)}{5n-4}\right)^{3n^2}$$Für \(n=1\) ist \(a_n<0\), für alle anderen \(n\) ist \(a_n>0\). Für die Bestimmung der \(n\)-ten Wurzel aus \(a_n\) sei daher im Folgenden \(n\ge2\) vorausgesetzt:

$$\sqrt[n]{a_n}=\left(a_n\right)^\frac{1}{n}=\left(\frac{1}{n^5}\left(\frac{\sqrt[n]{5}(5n-9)}{5n-4}\right)^{3n^2}\right)^\frac{1}{n}=\left(\frac{1}{n^5}\right)^\frac{1}{n}\left(\left(\frac{\sqrt[n]{5}(5n-9)}{5n-4}\right)^{3n^2}\right)^\frac{1}{n}$$$$\phantom{\sqrt[n]{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n^5}}\left(\frac{\sqrt[n]{5}(5n-9)}{5n-4}\right)^{3n}=\frac{1}{\sqrt[n]{n^5}}\left(\sqrt[n]{5}\right)^{3n}\left(\frac{(5n-4)-5}{5n-4}\right)^{3n}$$$$\phantom{\sqrt[n]{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n^5}}\left(5^{\frac{1}{n}}\right)^{3n}\left(1-\frac{5}{5n-4}\right)^{3n}=\frac{5^3}{\sqrt[n]{n^5}}\left(1-\frac{\frac{3}{5}\cdot5}{\frac{3}{5}\cdot(5n-4)}\right)^{3n}$$$$\phantom{\sqrt[n]{a_n}}=\frac{5^3}{\sqrt[n]{n^5}}\left(1-\frac{3}{3n-\frac{12}{5}}\right)^{3n-\frac{12}{5}+\frac{12}{5}}$$$$\phantom{\sqrt[n]{a_n}}=\frac{5^3}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^5}\left(1-\frac{3}{3n-\frac{12}{5}}\right)^{3n-\frac{12}{5}}\left(1-\frac{3}{3n-\frac{12}{5}}\right)^{\frac{12}{5}}$$

Wegen \(\sqrt[n]{n}\to1\) und \(\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x\) konvergiert der Ausdruck und es gilt:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{5^3}{\left(\sqrt[n]{n}\right)^5}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{3n-\frac{12}{5}}\right)^{3n-\frac{12}{5}}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{3}{3n-\frac{12}{5}}\right)^{\frac{12}{5}}$$$$\phantom{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}=\frac{5^3}{1^5}\cdot e^{-3}\cdot1=\frac{125}{e^3}$$

Weil der bestimmte Grenzwert \(\frac{125}{e^3}=\left(\frac{5}{e}\right)^3\) größer als \(1\) ist, divergiert die Reihe gemäß des Wurzel-Kriteriums.