Aloha :)
Bei der partiellen Ableitung nach \(x\) betrachten wir \(y\) als eine Konstante und verwenden die Qotientenregel
$$f_x(x;y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\overbrace{\sqrt{653x^2+955}}^{=u}}{\underbrace{\ln(3x+7y^3)}_{=v}}\right)$$$$\phantom{f_x(x;y)}=\frac{\overbrace{\frac{653\cdot2x}{2\sqrt{653x^2+955}}}^{=u'}\cdot\overbrace{\ln(3x+7y^3)}^{=v}-\overbrace{\sqrt{653x^2+955}}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{3}{3x+7y^3}}^{=v'}}{\underbrace{\ln^2(3x+7y^3)}_{=v^2}}$$$$\phantom{f_x(x;y)}=\frac{\frac{653x}{\sqrt{653x^2+955}}\cdot\ln(3x+7y^3)-\frac{3\sqrt{653x^2+955}}{3x+7y^3}}{\ln^2(3x+7y^3)}$$Das kann man nicht mehr wirklich gut vereinfachen, daher lasse ich das als Ergebnis so stehen. Speziell an der Stelle \((6;4)\) kriegt mein Taschenrechner raus$$f_x(6;4)\approx4,05037020$$
Die partielle Ableitung nach \(y\) ist einfacher, weil wir nun \(x\) als Konstante ansehen können und damit der ganze Zähler konstant ist. Hier hilft die Kettenregel weiter:$$f_y(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\sqrt{653x^2+955}}{\ln(3x+7y^3)}\right)=\sqrt{653x^2+955}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left(\left(\ln(3x+7y^3)\right)^{-1}\right)$$$$\phantom{f_y(x;y)}=\sqrt{653x^2+955}\cdot\underbrace{(-1)\left(\ln(3x+7y^3)\right)^{-2}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\frac{21y^2}{3x+7y^3}}_{=\text{innere Abl.}}$$$$\phantom{f_y(x;y)}=-\frac{\sqrt{653x^2+955}}{\ln^2(3x+7y^3)}\cdot\frac{21y^2}{(3x+7y^3)}$$Auch das lässt sich nicht mehr gut vereinfachen. Speziell an der Stelle \((6;4)\) erhalte ich:$$f_y(6;4)\approx-2,98730497$$
