Zeige, dass durch(x∈X)∼d(y∈X) :⇔d(x, y) = 0.eine Äquivalenzrelation∼d auf X definiert wird, für die gilt ∀x1, x2, …

Question

Aufgabe:

Sei X eine Menge und d:X×X→R eine Funktion, für die gilt ∀x∈X:d(x, x) = 0,

∀x, y∈X:d(x, y)≥0

∀x, y∈X:d(x, y) =d(y, x),

∀x, y, z∈X:d(x, y)≤d(x, z) +d(y, z).

Zeige, dass durch(x∈X)∼d(y∈X) :⇔d(x, y) = 0.eine Äquivalenzrelation∼d auf X definiert wird, für die gilt ∀x1, x2, y1, y2∈X: ((x1∼dx2∧y1∼dy2)⇒d(x1, y1) = d(x2, y2)).(1)

Problem/Ansatz:

Also ich weiß da die Metrikaxiome gelten, ist d eine Metrik auf X. Damit eine Relation eine Äquivalenzrelation, muss sie

1.reflexiv

2. symmetrisch

3. transitiv

Aber wie zeige ich die Aussage (1)?

Answer 1

((x1∼dx2∧y1∼dy2) ⇒ d(x1,x2)=d(y1,y2)=0.
Einerseitseits mittels Dreiecksungleichung:
d(x1,y1) ≤ d(x1,x2) + d(x2,y1) = d(x2,y1) ≤ d(x2,y2) + d(y2,y1) = d(x2,y2)
Andererseits analog:
d(x2,y2) ≤ d(x2,x1) + d(x1,y2) = d(x1,y2) ≤ d(x1,y1) + d(y1,y2) = d(x1,y1).

Damit d(x1,y1) = d(x2,y2).

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