Bogenlänge y=x^(1/2)/2

Question

Aufgabe: Bogenlänge der Kurve y=\( \sqrt{x} \)/2 für 0≤x≤5.

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht es mit der Formel \( \int\limits_{0}^{5}( \sqrt{1+(ƒ')^2} ) \)   zu lösen. Also \( \int\limits_{0}^{5}( \sqrt{1+1/16x} ) \)

Als Hilfe ist das Integral \( \sqrt{(1+t)} \)/(t^2) = - (\( \sqrt{1+t} \)/)t - artanh(\( \sqrt{t+1} \)) gegeben.

Mein Problem ist, dass ich es nicht schaffe, die Funktion so umzuformen, dass sie gleich aussieht wie die Hilfe. Mir fällt keine Substitution ein, um das Problem zu lösen.

Wie wäre es denn möglich, auf \( \sqrt{(1+t)} \)/(t^2) umzuformen?

Bitte, danke!

Lg.

Comments

 \( \frac{x^{0,5} }{2} \)  oder  \( \frac{x}{2}^{0,5} \)  ???

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

$$L=\int\limits_0^5\sqrt{1+\frac{1}{16x}}dx=?$$Substituiere wie folgt:$$t\coloneqq\frac{1}{16x}\quad;\quad\frac{dt}{dx}=-\frac{1}{16x^2}=-16t^2\implies dx=\frac{dt}{-16t^2}$$Dann wird das Integral zu:

$$L=\int\limits_{\infty}^{\frac{1}{80}}\sqrt{1+t}\,\frac{dt}{-16t^2}=-\frac{1}{16}\int\limits_{\infty}^\frac{1}{80}\frac{\sqrt{1+t}}{t^2}dt=\cdots\approx5,2116$$

Damit kannst du die Rechnung nun durchführen. Das Ergebnis habe ich dir zur Kontrolle mit angegeben.

Comments

Hallo.

Danke erstmal für die schnelle und ausführliche Antwort!

Allerdings verstehe ich leider nicht, wie du auf -\( \frac{1}{16x^2} \) = -16t² gekommen bist. Könntest du mir das eventuell bitte erläutern?

Vielen Dank im Voraus!

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Da habe ich "rückwärts" gedacht:

Unter dem Integral darf nach der Substitution ja kein \(x\) mehr rumlaufen. Also muss ich das \(\frac{1}{16x^2}\) irgendwie durch \(t\) ausdrücken. Der einfachste Weg an ein \(\frac{1}{x^2}\) zu kommen ist \(t^2\). Dann müssen nur noch die Faktoren angepasst werden.$$t^2=\left(\frac{1}{16x}\right)^2=\frac{1}{256x^2}\implies -16t^2=\frac{-16}{256x^2}=-\frac{1}{16x^2}$$

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Ah okay verstehe. Danke nochmals!