Zeige, dass det(A)=1 oder det(A)=-1 gilt.

Question

Aufgabe: Sei A eine quadratische Matrix über einem Körper K mit ^tA=A^-1.

Zeige, dass det(A)=1 oder det(A)=-1 gilt.

Könnte mir jemand einen Ansatz geben. Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe angehen muss.

Comments

was weißt du denn über eine Matrix und ihre Inverse bzw. deren Determinanten?

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Ich glaube ich weiß wie ich Aufgabe angehen muss.

Ich muss mir zwei Matrizen überlegen und dann jeweils die Determinante ausrechnen. Es muss bei einem 1 und bei einem -1 rauskommen, oder?

Answer 1

Aloha :)

$$1\stackrel1=\operatorname{det}(\mathbf 1)\stackrel2=\operatorname{det}(\mathbf A\mathbf A^{-1})\stackrel3=\operatorname{det}(\mathbf A\mathbf A^T)\stackrel4=\operatorname{det}(\mathbf A)\cdot\operatorname{det}(\mathbf A^T)\stackrel5=\operatorname{det}(\mathbf A)\cdot\operatorname{det}(\mathbf A)$$

1) Die Determinante der Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) ist gleich 1.

2) Da nach Voraussetzung \(\mathbf A^{-1}=\mathbf A^T\) gilt, ist die Matrix \(\mathbf A\) invertierbar: \(\mathbf A\mathbf A^{-1}=\mathbf1\).

3) Nach Voraussetzung giit \(\mathbf A^{-1}=\mathbf A^T\).

4) Determinanten-Multiplikationssatz: \(\operatorname{det}(\mathbf{AB})=\operatorname{det}(\mathbf A)\cdot\operatorname{det}(\mathbf B)\).

5) Die Determinante einer transponierten Matrix ist gleich der Determinante der Matrix.

Nach diesen Umformungen gilt also:$$\operatorname{det}^2(\mathbf A)=1\quad\implies\quad\operatorname{det}(\mathbf A)=\pm1$$

Comments

Oh, ich dachtr ich könnte mir zweu Beispielmatrizen ausdenken...aber jetzt weiß ich Bescheid. Ich bedanke mich !!!

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Zwei Beispiel-Matrizen reichen hier leider nicht aus. Du sollst das ja für alle Matrizen \(\mathbf A\) mit \(\mathbf A^{-1}=\mathbf A^T\) beweisen.

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Achso, ich dachte ich müsste wirklich nur det(A)=1 und det(A)=-1 zeigen...dann weiß ich Bescheid :)