Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung.

Question

Aufgabe:

(i) Bestimmen Sie die Lösungen von \( z^{2}-(6-2 i) z+8+12 i=0 \).

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe schaffe ich nicht. Kann mir das bitte einer mit ausführlichen Schritten erklären bzw. vorrechnen, damit ich Probleme mit solchen Aufgaben in Zukunft nicht mehr habe?

Answer 1

z^2-(6-2i)*z+8+12i=0

z^2-(6-2i)*z=-12i-8

[z-(3-i)]^2=-12i-8+9-6i+i^2=-18i

z_1=(3-i)+\( \sqrt{-18i} \) =(3-i)+3-3i=6-4i

z_2=(3-i)-\( \sqrt{-18i} \) =(3-i)-(3-3i)=3-i-3+3i)=2i

Bemerkung: \( \sqrt{-18i} \) habe ich mit Wolfram berechnet.

Comments

Danke sehr! Nun kann ich versuchen jeden Schritt nachzuvollziehen :)

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Ich habe mich mal kundig gemacht, wie  \( \sqrt{-18i} \)  umgewandelt werden kann:

Für mich ist das Neuland.

Text erkannt:

\( \sqrt{-18 i}=\sqrt{18} \cdot \sqrt{-i} \)
Zwischenrechnung:
\( \sqrt{-i}=\sqrt{\frac{2 \cdot(-i)}{2}}=\sqrt{\frac{1+(2 \cdot(-i))-1}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 \cdot(-i)+i^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{1-2 \cdot i+i^{2}}{2}} \)
\( =\sqrt{\frac{(1-i)^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2 \cdot(1-i)^{2}}{4}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(1-i) \)
1. \( ) \sqrt{-18 i}=\sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(1-i)=\frac{6}{2} \cdot(1-i)=3-3 i \)
2. \( ) \sqrt{-18 i}=-\sqrt{18} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot(1-i)=-3(1-i)=3 i-3 \)

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Sehr nett. Dankeschön! Ist zwar auch Neuland für mich, aber irgendwie werde ich das schon verstehen ^^

Answer 2

z = 6 - 4·î ∨ z = 2·î  ......