Weitere Lösungen für diese Gleichung wie bestimmen?

Question

Text erkannt:

\( x_{1}=-2 \) ist eine Lösung der Gleichung \( 3 x^{3}-24 x^{2}+3 x+126=0 \). Bestimmen Sie weitere Lösungen

Aufgabe:

Weitere Lösungen bestimmen

Problem/Ansatz:

Wie weitere Lösungen bestimmen? Was für eine Methode kann man verwenden?

Answer 1

Aloha :)

$$0=3x^3-24x^2+3x+126=3(x^3-8x^2+x+42)$$

Wir wissen, dass \((-2)\) eine Nullstelle ist, also müssen wir \((x+2)\) als Linearfaktor ausklammern können:

$$0=3(x^3\,\underbrace{+2x^2-10x^2}_{=-8x^2}\,\underbrace{-20x+21x}_{=x}\,+42)$$$$0=3(x^2(x+2)-10x(x+2)+21(x+2))$$$$0=3(x^2-10x+21)(x+2)$$

Das quadratische Polynom faktorisieren wir mit dem Satz von Vieta. Dazu brauchen wir 2 Zahlen mit Summe \((-10)\) und Produkt \(21\). Das leisten die Zahlen \((-3)\) und \((-7)\):$$0=3(x-3)(x-7)(x+2)$$

Wir lesen alle drei Nullstellen ab: \(3\), \(7\) und \((-2)\).

Answer 2

Den Term \( 3 x^{3}-24 x^{2}+3 x+126\) kannst du wegen der Lösung \(x_1 = -2\) umformen zu

        \((x- (-2))\cdot p(x)\).

Dabei ist \(p(x)\) das Ergebnis der Polynomdivision

      \( (3 x^{3}-24 x^{2}+3 x+126) : (x- (-2))\).