Wie Optimierungsproblem richtig skizzieren?

Question

Aufgabe:

es soll "the feasible set" des vorliegenden Optimierungsproblems skizziert werden.

Die Funktion lautet:

f(x₁,x₂)=exp(1-x₁)+exp(1+x₂)

mit den Beschränkungen:

c1(x)= -x1²+x2² +2 ≥ 0

c2(x)=x₁-x₂ ≥ 0

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht ganz klar, ob man hier bei der Sizzierung eine 3d-Variante andeuten sollte oder einfach nur x1 und x2 in 2d aufträgt und solche "Isobaren" einzeichnet, was ich schon öfters gesehen habe...

wie würde man das in diesem Fall richtig machen?

Answer 1

Halllo,

Mir ist nicht ganz klar, ob man hier bei der Sizzierung eine 3d-Variante andeuten sollte oder einfach nur x1 und x2 in 2d aufträgt und solche "Isobaren" einzeichnet

Wir wissen natürlich auch nicht, was Dein Professor/Dozent da von Dir erwartet. Andererseits ist 'feasible set' als Begriff der Optimierung lt. Wikipedia definiert als der 'eingeschränkte Bereich'.

https://www.desmos.com/calculator/idydtpxsmb

Also ohne 3D und ohne Isobaren ist dies mit diesen Beschränkungen $$c_1(x) = -x_1^2+x_2^2 +2 \ge 0\\ c_2(x)=x_1-x_2 \ge 0 $$der untere Bereich der 'Sanduhr' (rot), der von der Geraden \(y=x\) abgeschnitten wird.

Wenn Du die App öffnest (unten rechts auf das 'Desmos' klicken) kannst Du mit dem Schieber von \(a\) die 'Isobare' verschieben.

IMHO gibt es dort kein lokales Extremum.

Gruß Werner

Comments

vielen Dank schon mal. Doch, es muss wohl ein lokales Minimum bei (1 -1) geben. Das geht aus der Aufgabenstellung heraus, denn später sollen noch die Lagrange-Multiplikatoren bestimmt werden und gezeigt werden, dass die Bedingungen erster und zweiter Ordnung erfüllt werden

Ich sehe auch gerade ich habe einen Fehler gemacht. Die 1. Beschränkung lautet:

c1(x)= -x1^2 - x2^2 +2 ≥ 0

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Die 1. Beschränkung lautet: \(c_1(x)= -x_1^2 - x_2^2 +2 ≥ 0 \)

dann gibt es auch lokale Extrema, genauer drei.

https://www.desmos.com/calculator/337mu96vkf

Und das Minimum ist bei \((1;\, -1)\) sieht man auch ohne Rechnung ;-)