Matrix: Darstellung affiner Transformationen der Ebene

Question

a) Betrachten Sie die Matrix A \( \bar{A}=  \begin{array}{rl} a11 & a 12 & v 1 \\ a 21 & a 22 & v 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \) und den Koordiantenvektor \( \bar{x}=\left(\begin{array}{c}x1 \\ x2 \\ 1\end{array}\right) \)

Berechnen Sie das Matrixpodukt A x und überzeugen Sie sich davon, dass für den Ergebinsvektor \( \bar{y}=\left(\begin{array}{l}y1 \\ y 2 \\ 1\end{array}\right) \)

folgendes gilt:

\( \left(\begin{array}{l}y 1 \\ y 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a 11 & a 12 \\ a 21 & a 22\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l}x 1 \\ x 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}v I \\ v 2\end{array}\right) \)

b ) Stellen Sie die Verscheibung mit dem Verschiebevektor \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

durch eine 3x3 Matrix T(Strich) dar und berechnen Sie zur Probe das Matrixprodukt T* x = \( T * \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ 1 \end{pmatrix} \)

c) Stellen Sie die Drehung um den Ursprung mit dem Drehwinkel 90 Grad durch eine 3x3 Matrix D dar und berechnen Sie zur Probe D*x.

Answer 1

A*x = 

(a11 x1 + a12 x2 + v1
a21 x1 + a22x2 + v2   
0x1 + 0x2 + 1)

=

(a11 x1 + a12 x2 + v1
a21 x1 + a22x2 + v2   
0x1 + 0x2 + 1)

= 
(y1
y2
y3)

 

(a11 a12        (x1           (v1
a21 a22    ) *  x2  )   ⁺    v2)

=

(a11 x1 + a12 x2 + v1        (y1
 a21 x1 + a22 x2 + v2 ) =   y2)

Wie verlangt beim ersten Teil.

zweiter Teil. Verschiebung allein. Heisst, dass die 2x2-Matrix links oben die Identität sein muss. Daher:

A=

( 1 0  1
  0 1  2
  0 0  1   )

Dritter Teil. In den Spalten der kleinen 2x2-Matrix links oben müssen die Bilder der Basisvektoren stehen.
Daher:

A=

(0 -1  0
 1  0   0
 0  0   1)

Probe

 

A * x =

(0 -1  0           (x1        ( -x2
 1  0   0      *     x2 =       x1
 0  0   1)           1)            1  )

ok.