quadratische komplexe Gleichung

Question

Aufgabe:

quadratische Gleichung lösen:

z²-(1+2i)z+i-3=0

z²-(3+i)z=i-2

Problem/Ansatz:

Guten Morgen :-) Hat eventuell jemand einen Ansatz? Liebe Grüße

Answer 1

pq-Formel gilt auch im Komplexen

zur 1.  z=(1+2i)/2 ±√ (  ( (1+2i)/2)^2 -(i-3) )

           =(1+2i)/2 ±√ (   (1/2+i)^2 -(i-3) )

          =(1+2i)/2 ±√ (  -3/4+i-(i-3) )

         =(1+2i)/2 ±√ ( 9/4)

            =(1+2i)/2 ±  3/2

z= 2+i  oder z=-1+i

Comments

danke für die ausführliche Antwort. Ich versuche mich gerade an der b). Mir ist der Schritt von den ±√ (  (1/2+i)2 -(i-3) ) auf die ±√ (  -3/4+i-(i-3) ) nur noch nicht ganz klar. Woher kommen die -3/4? Bei der b) hab ich nun (3+i)/2 ±√ (  (3/2+i/2)2 -(i-2) ) wo es dann eben aufhört weil ich den weiteren Schritt irgendwie nicht ganz verstehe. :(

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Bei der b) hab ich nun (3+i)/2 ±√ (  (3/2+i/2)^2 -(i-2) ) ) 

stimmt nicht ganz, die i-2 stehen doch rechts vom Gleichheitszeichen.

Da muss aber für die pq-Formel 0 stehen, also ist das q = -i+2 und

du hast (3+i)/2 ±√ (  (3/2+i/2)^2 -(-i+2) ) )

         = (3+i)/2 ±√ (  (3/2+i/2)2 +i-2) ) )

und jetzt erst mal ausrechnen (3+i)/2 =   3/2 + i/2

und dann das quadrieren (  3/2 + i/2 )^2 gibt nach der

binomischen Formel 9/4 + 2*(3/2)*(i/2) + (i/2)^2

=9/4+3i/2 - 1/4   =  2+ 3i/2 .

Also wird aus (3+i)/2 ±√ (  (3/2+i/2)2 +i-2) ) ) dann

             =  (3+i)/2 ±√ (  (2 + 3i/2 ) +i-2) ) )

            =   (3+i)/2 ±√ ( 5i/2 )

und die Wurzel ergibt (√5+i√5)/2 also sind die Lösungen

z = (3+√5+(1+5)i ) / 2 oder z= (3-√5+(1-5)i ) / 2

Answer 2

Bitte nachrechnen, ich habe schnell getippt:

Text erkannt:

\( z^{2}-(3+i) \cdot z=i-2 \)
\( \left(z-\frac{3+i}{2}\right)^{2}=i-2+\left(\frac{3+i}{2}\right)^{2}=\frac{4 i-8+9+6 i-1}{4}=\frac{10 i}{4} \)
\( z_{1}=\frac{3+i}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10 i}=\frac{3+i}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{i} \)
\( z_{2}=\frac{3+i}{2}-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{i} \)
\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1+2 i-1}=\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{1+2 i+i^{2}}= \)
\( =\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \sqrt{(i+1)^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot(i+1) \)
\( z_{1}=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot(i+1)=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}+\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20} \cdot(i+1) \)
\( =\frac{3}{2}+\frac{i}{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot(i+1)=\ldots \rightarrow \) Zusammenfassen Real-und Imaginärteil
\( z_{2}=\ldots \)