Aufgabe:
(1-3i)z2 - (9-7i)z + 10 = 0
Könnt ihr mir bitte helfen diese Aufgabe zu lösen... :)
Komme da irgendwie nicht weiter, da ich anscheinend das falsche Ergebnis raus bekomme.
Problem/Ansatz:
durch (1-3i) teilen, um den Faktor von z2 wegzukriegen.
z2 - \( \frac{9-7i}{1-3i} \)z + \( \frac{10}{1-3i} \) = 0
Nebenrechnung: \( \frac{9-7i}{1-3i} \) \( \frac{1+3i}{1+3i} \) = \( \frac{9+27i-7i-21i^2}{1+3i-3i-9i2} \) = \( \frac{9+20i+21}{1+9} \)
= \( \frac{30+20i}{10} \) = 3 + 2i
Nebenrechnung: \( \frac{10}{1-3i} \) = \( \frac{10*(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} \) =\( \frac{10+30i}{1+3i-3i-9i^2} \)
= \( \frac{10+30i}{1+9} \) = \( \frac{10+30i}{10} \) = 1 + 3i
=> z2 - (3+2i)z + (1+3i) = 0
z1/2 = -\( \frac{-(3+2i)}{2} \) +-\( \sqrt{(\frac{-(3+2i)}{2})^2 - (1+3i)} \)
\( \frac{(3+2i)}{2} \) +-\( \sqrt{(\frac{-3-2i}{2})( \frac{-3-2i}{2}) - (1+3i)} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{9+6i+6i+4i^2}{4}- (1+3i)} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{9+12i-4}{4}- (1+3i)} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{9+12i-4}{4}- \frac{4(1+3i)}{4}} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{9+12i-4}{4}- \frac{(4+12i)}{4}} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{5+12i}{4}- \frac{(4+12i)}{4}} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{5+12i-4-12i}{4}} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{\frac{1}{4}} \)
= (1,5 + i) +- \( \sqrt{0,25} \)
= (1,5 + i) +- 0,5
=> z1 = 2 + i und z2 = 1 + i
